W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

Jak obliczyć pierwiastek z liczby ujemnej?

 

Z tej krótkiej lekcji nauczysz się, jak obliczyć dowolny pierwiastek z liczby ujemnej, np. \(\sqrt{-4}=?\)  Metoda jest bardzo prosta i nie wymaga znajomości skomplikowanych wzorów!

Podstawy - jednostka urojona i pierwiastek zespolony

Na początek przypomnijmy sobie, że jednostka urojona (którą oznaczamy literką \(i\)) to po prostu liczba, która po podniesieniu do kwadratu jest równa -1.

jednostka urojona - definicja

Oczywiście jednostka urojona i nie jest jedyną liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje -1. Drugą liczbą jest -i.

Formalnie rzecz biorąc, pierwiastek zespolony to zbiór liczb, np. pierwiastek drugiego stopnia z liczby -1 to zbiór złożony z dwóch liczb (po rejestracji uzyskasz dostęp do lekcji wido z wyjaśnieniem wszystkich metod obliczania pierwiastków zespolonych):

\[\sqrt{-1}=\{i,-i\}\]

W tym artykule pokażę Ci jak obliczyć pierwiastki zespolone z liczb ujemnych bez stosowania skomplikowanych wzorów opartych na postaci trygonomerycznej lub wykładniczej liczby zespolonej.

Przykłady pokazujące jak obliczyć pierwiastek zespolony z liczby ujemnej

Podobno człowiek najlepiej uczy się na przykładach, więc bez owijania w bawełnę przechodzimy do konkretnych przykładów pokazujących jak obliczać pierwiastki zespolone z liczb ujemnych. Zacznijmy od pierwiastka z liczby -4, oto obliczenia:

\[{\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot(-1)}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}=2\cdot\sqrt{-1}={\color{red}{2i}}}\,\,lub\,\,\color{red}{-2i}\]

Jeśli chcesz sprawdzić, czy dobrze obliczyłeś/aś pierwiastki zespolone, to koniecznie zobacz ten kalkulator.

Zobacz lekcję video w której tłumaczę jak krok po kroku wykonać powyższe przjścia (w filmiku jest też wyjaśnienie czym jest jednostka urojona, jeśli chcesz przejść bezpośrednio do przykładu to przewiń lekcję do 2 minuty i 40 sekundy)

Jak ja to policzyłem? To dość proste, trzeba przypomnieć sobie tylko kilka własności ze szkoły średniej

  • pierwiastek 2-go stopnia z dowolnej liczby jest równy tej liczbie podniesionej do potęgi \(\frac{1}{2}\), czyli \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), przykład: \(\sqrt{-4}=(-4)^{\frac{1}{2}}\)
  • potęga iloczynu jest iloczynem potęg: \((ab)^n=a^{n}b^n\), przykłady

\[\sqrt{4\cdot(-1)}=(4\cdot (-1))^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}\cdot(-1)^{\frac{1}{2}}=2\cdot \sqrt{-1}\\2^{123}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{123}=\left(2\cdot \frac{1}{2}\right)^{123}=1^{123}=1\]Swoją drogą, zobacz jak bardzo ta własność może uprościć obliczenia, bo dużo trudniej obliczyć potęgi liczb \(2^{123}\) oraz \(\left(\frac{1}{2}\right)^{123}\), a dopiero potem je wymnożyć.

Inne przykłady

Oto inne przykłady, które pomogą Ci zrozumieć schemat wyznaczania pierwiastków z liczb ujemnych:

\[{\sqrt{-9}=\sqrt{9\cdot(-1)}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{-1}=3\cdot\sqrt{-1}={\color{red}{3i}}}\,\,lub\,\, \color{red}{-3i}\\{\sqrt{-2}=\sqrt{2\cdot(-1)}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{-1}={\color{red}{\sqrt{2}i}}}\,\,lub\,\,\color{red}{-\sqrt{2}i}\\{\sqrt{-\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{3}\cdot(-1)}=\sqrt{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{-1}=3^{\frac{1}{4}}\cdot i={\color{red}{\sqrt[4]{3}i}}}\,\, lub\,\,\color{red}{-\sqrt[4]{3}i}\]

Jeśli chcesz poznać inne typowe schematy, triki i metody rozwiązywania zadań z liczb zespolonych, to zapraszam do rejestracji, dzięki której uzyskasz dostęp do kilkudziesięciu kursów wideo, przykładów oraz zadań z rozwiązaniami.

Zarejestruj się i odbierz bonus

Komentarzy (7)

Cancel or

  • PiotrLenarczykAnonimowo
    Spoko wytłumaczenie Motto życiowe z królowej nauk - matematyki: "umiesz liczyć, licz na siebie, ewentualnie współmałżonka, wyjątkowo na .najbliższych" - sprawdza się, potwierdzam:)
  • sebo!
    @Jacek Pierwiastek z liczby ujemnej to zbiór złożony z dwóch liczb zespolonych, taka jest matematyczna definicja. Jeśli chodzi o próbę intuicyjnego zrozumienia liczb zespolonych, to nie jest to łatwe, m.in. dlatego Cardano (uważany za jednego z pierwszych ludzi używających liczb zespolonych) nazywał je liczbami urojonymi i sam nie wierzył w ich istnienie... Po kilkuset latach okazało się, że liczby zespolone mają niesamowite, liczne zastosowania.
  • Jacek
    Genialne!!! Pierwiastek z liczb rzeczywistych, jakimi są niewątpliwie liczby ujemny równa się, najdelikatnej mówiąc - "niewiadomo ile". :) I jak już to ustalimy, to później już mamy z górki. Będziemy uzyskiwać 3"niewiadomo ile", V2"niewiadomo ile"... A czy państwa naprawdę nigdy nie zastanowiło, jak to możliwe, że podnoszenie do kwadratu analogicznych liczb ujemnych i dodatnich daje takie same wyniki? Życzę owocnego myślenia... :) I zapewniam, że rozwiązanie problemu jest prostsze, niż to się komukolwiek wydaje. Potykacie się państwo o nie niemal codziennie. Pewnie dlatego jeszcze nikt na to wpadł... :)
  • sebo!
    @Paula Dzień dobry, tak zamiast 3 powinno być 9. Dodałem jeszcze jedną równość, teraz wszystkie przekształcenia powinny być zrozumiałe. Pozdrawiam :-)
  • Paula
    Mam pytanie. Czy w przykładzie : √-9= √9⋅(−1)= √3 ⋅ √−1 =3i lub −3i nie powinno być czasem √9 * √-1 ? chodzi mi o trzecią linię tego równania. Bo trochę mnie to zbiło z tropu w pewnym momencie ;)
  • Filip
    Bardzo pomocny i super wyjaśniony artykuł. Leciu sub. Pozdrawiam Filip ( ͡° ͜ʖ ͡°)
  • Wiesław
    bardzo jasno przedstawione zagadnienia. I co najważniejsze - nie ma tutaj miejsca na pytanie "co poeta miał na mysli" lub interpretacji zgodnie z obowiązującą sytuacją polityczną.