W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

Jak rozwiązywać nierówności z modułem liczby zespolonej?

Ostatnio jeden ze studentów zapytał mnie:

"Jak rozwiązać nierówność z modułem liczby zespolonej \(|iz + 1 - 2i| < 3\)? Gdyby nie było tam "iz" to wiem, że rozwiązaniem będzie wnętrze koła (bez brzegu), ale co zrobić gdy będzie "iz"?"

Zacznijmy od początku...

czyli od nierówności typu\[|z-z_0|<r\]gdzie

  • z - to szukane liczby zespolone, spełniające powyższą nierówność
  • z0 - to podana liczba zespolona (np. z0=1-2i lub z0=i itp.)
  • r - to podana liczba rzeczywista dodatnia (np. r=0.8 lub r=2 itp.)

Przykład:\[|z+1-2i|<3\]

Zbiór rozwiązań takiej nierówności to wnętrze koła o środku w punkcie z0 oraz promieniu r. W naszym przykładzie mamy:\[z_0=-1+2i,\,\,r=3\]

Zastanawiasz się pewnie skąd się wzięło z0=-1+2i? Zauważ, że w schemacie mamy minus przed z0 (|z - z0|<r), więc musimy ten minus uwzględnić przy wyznaczaniu z0.
Należy więc najpierw przekształcić naszą nierówność zespoloną do postaci:

\[|z-(-1+2i)|<3\] czyli dokładnie tak jak w schemacie \[|z-z_0|<r\]teraz mamy z0 widoczne jak na dłoni:-)

Oto lekcja video, która pomoże Ci zrozumieć dokładnie o co chodzi w schemacie rozwiązywania nierówności z modułem liczby zespolonej:

Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"

Potrafisz już rozwiązać nierówność z modułem typu

\[|z-z_0|<r\]Pytanie jak poradzić sobie z nierównością w której pojawia się to nieszczęsne "iz", czyli np.

\[|iz+1-2i|<3\]Pomysł jest prostszy niż Ci się wydaje...:-) Wystarczy doprowadzić powyższą nierówność do tej znanej ze schematu - czyli tak, żeby nie było "iz" tylko samo "z". Można to zrobić na dwa różne sposoby:

SPOSÓB 1

1. Zauważmy, że  |i| = |-i| = 1 (moduł jednostki urojonej wynosi 1). Wykorzystajmy to i pomnóżmy obie strony naszej nierówności właśnie przez |-i| (za chwilę zobaczysz dlaczego mnożymy przez |-i| a nie przez |i|...), czyli

\[|-i||iz+1-2i|<|-i|3\]

2. Po lewej stronie nierówności korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli\[|z_1| |z_2| = |z_1 z_2|\]

u nas z1 = -i,  z2 = iz + 1-2i więc\[|-i|\cdot |iz + 1 - 2i| = |(-i)\cdot (iz + 1 - 2i ) | = |z + (-i)\cdot (1 - 2i)| = |z  - i - 2|\]

Stąd ostatecznie otrzymujemy nierówność: 

 \[|z - (2 + i)| < 3\]do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

SPOSÓB 2

1.  Wyciągamy "i" przed nawias:\[\left|i \left(z + \frac{1 - 2i}{i}\right)\right| < 3\]

2. Korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli\[|z_1 z_2|=|z_1| |z_2|\]

u nas\[z_1 = i,\,\,  z_2 = z + \frac{1-2i}{i}\] 

stąd\[\left|i \left(z + \frac{1 - 2i}{i}\right) \right|=|i| \left|z + \frac{1 - 2i}{i}\right|\]

Ponieważ |i|=1, więc otrzymujemy nierówność\[\left|z + \frac{1 - 2i}{i}\right| < 3\] 

3. Jak widzisz jesteśmy już blisko znanego schematu. Teraz trzeba jeszcze tylko wykonać dzielenie liczb zespolonych\[\frac{1 - 2i}{i}  = \frac{1}{i} - \frac{2i}{i}=-i-2\] 

stąd ostatecznie dochodzimy do łatwej nierówności\[|z - (2 + i)|<3\]

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.
Zauważ, że nierówności otrzymane 2 sposobami są dokładnie takie same. Sam(-a) wybierz metodę, która Ci bardziej pasuje:-)

Jeśli chcesz poznać metody rozwiązywania innych nierówności zespolonych to zapraszam Cię do zarejestrowania się w serwisie. Zyskasz dostęp do dziesiątków lekcji wideo, przykładów i zadań testowych.

Zarejestruj się i odbierz bonus

Komentarzy (0)

Cancel or