Zadanie - Oblicz macierz odwrotną do macierzy 4x4
Mamy obliczyć macierz odwrotną do macierzy wymiaru 4x4 (stopnia 4):
Oto rozwiązanie krok po kroku...
ROZWIĄZANIE KROK PO KROKU
KROK I
Macierz odwrotną możemy obliczyć we wzoru lub za pomocą metody Gaussa (inaczej nazywaną też metodą bezwyznacznikową lub metodą dołączonej macierzy jednostkowej). W przypadku macierzy wysokich stopni, warto stosować metodę Gaussa, jest szybsza i mniej skomplikowana, ale wymaga trochę kreatywności.
Dla odmiany, pokażę Ci jak rozwiązać to zadanie korzystając ze wzoru na macierz odwrotną:
Ostrzegam, że będzie dużo liczenia, ale dzięki temu poznasz cały schemat wyznaczania macierzy odwrotnej ze wzoru.
Najpierw obliczamy metodę Sarrusa A (zastosujemy operacje elementarne, a po uproszczeniu skorzystamy z rozwinięcia Laplace'a)
wykonujemy następujące operacje elementarne
- od 1 wiersza odejmujemy 3 wiersz pomnożony przez 2, czyli \(w_1-2w_3\)
-
od 2 wiersza odejmujemy 3 wiersz pomnożony przez 3, czyli \(w_2-3w_3\)
Po wykonaniu powyższych operacji wyznacznik się upraszcza, tzn.
= 
Teraz zastosujmy rozwinięcie Laplace'a względem drugiej kolumny i metodę Sarrusa dla otrzymanego wyznacznika 3-go stopnia
=
=(-1)(-12+5+12+12-10-6)=-1
(czyli \(\det(A)=-1 \neq 0\))
KROK II
Obliczamy dopełnienia algebraiczne (lekcję wideo na ten temat znajdziesz w kursie macierzy) wszystkich elementów macierzy A - użyjemy metody Sarrusa. Najpierw dopełnienia elementów stojących w pierwszym wierszu macierzy A
Dopełnienia elementów z drugiego wiersza
Dopełnienia elementów z trzeciego wiersza
Na koniec zostają do policzenia dopełnienia elementów z ostatniego wiersza
KROK III
Zapisujemy macierz dopełnień algebraicznych:
Znajdujemy macierz transponowaną do macierzy dopełnień:
=
Macierz odwrotna do macierzy A jest równa
Zatem ostatecznie
Wynik możemy sprawdzić korzystając z tego kalkulatora.
Mam nadzieję, że odwracanie macierzy jest już dla Ciebie w 100% zrozumiałe. Jeśli nie, to napisz proszę w komentarzu poniżej czy coś wymaga dokładniejszego wytłumaczenia.
Jeśli chcesz właściwie przygotować się do kolokwium lub egzaminu z macierzy, to rozważ proszę rejestrację w serwisie orzelzmatmy.pl. Otrzymasz dostęp do kilkudziesięciu lekcji wideo, mnóstwa przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (2)