Wyznacznik macierzy 2x2 i 3x3 - schematy i przykłady
Wyznacznik macierzy to zwykła liczba, np. \(-20, 0, 1\frac{1}{2}, -\sqrt{3}\) itd. Wyznaczniki można liczyć tylko w przypadku macierzy kwadratowych.
Do oznaczenia wyznacznika macierzy kwadratowej A stosuje się dwa symbole:
\[\det A \,\,\,lub\,\,\, |A|\]
Na przykład, zarówno zapis
|
|
jak i |
|
Dlaczego koniecznie musisz nauczyć się liczyć wyznaczniki macierzy? Odpowiedź jest prosta, bo pojęcie wyznacznika pojawia się w wielu zagadnieniach na algebrze liniowej i nie tylko.
Oto kilka tematów, w których wyznacznik jest niezbędny:
- odwracanie macierzy
- rozwiązywanie układów równań liniowych
- sprawdzanie czy macierz jest osobliwa czy nieosobliwa
- obliczanie pola lub objętości bryły przestrzennej
- zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych
- sprawdzanie czy układ rozwiązań jest fundamentalny (równania różniczkowe)
W tym artykule pokażę Ci jak szybko i sprawnie obliczać wyznaczniki macierzy stopnia 2 oraz 3, czyli takich z którymi będziesz mieć najczęściej do czynienia.
Wyznacznik macierzy 2x2
Wyznacznik macierzy stopnia 2 liczy się bardzo łatwo i szybko, wystarczy wymnożyć elementy macierzy stojące na przekątnych, a potem odjąć od siebie tak otrzymane iloczyny.
Oto schemat obliczania wyznacznika 2x2:
\[{\det}\left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d\end{array}\right]=a\cdot d - b\cdot c\]
I konkretny przykład:
Wyznacznik macierzy 3x3 - metoda Sarrusa
Umiesz już liczyć wyznacznik macierzy 2x2, teraz czas na wyznacznik macierzy 3x3... Na początek pokażę Ci jak liczyć takie wyznaczniki korzystając z metody Sarrusa.
Obejrzyj lekcję wideo z rozwiązaniem konkretnego przykładu przy użyciu metody Sarrusa:
Zobacz też rozwiązanie tekstowe przykładu z lekcji video:
Chcemy obliczyć wyznacznik macierzy 3x3
- Dopisujemy po prawej stronie wyznacznika macierzy dwie pierwsze kolumny macierzy
- Obliczamy iloczyny elementów stojących na kolejnych przekątnych wcześniej utworzonej macierzy rozszerzonej
\(0\cdot(-1)\cdot 1 = 0\)
\(3\cdot 2\cdot 2 = 12\)
\(1\cdot 1\cdot 4 = 4\)
Sumujemy wyżej otrzymane liczby:
\(0 + 12 + 4 = 16\)
Obliczamy iloczyny elementów na przekątnych poprzecznych:
\(2\cdot (-1)\cdot 1 = -2\)
\(4\cdot 2\cdot 0 = 0\)
\(1\cdot 1\cdot 3 = 3\)
Sumujemy wyżej otrzymane liczby:
\(-2 + 0 + 3 = 1\)
3. Ostatecznie wyznacznik naszej macierzy 3x3 będzie równy
16 - 1 = 15
Poniżej możesz zobaczyć całe rozwiązanie tego przykładu
Do sprawdzania poprawności obliczeń wyznacznika macierzy polecam to narzędzie.
Na koniec, specjalnie dla osób, które lubią teorię, schemat metody Sarrusa:
\[\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{array}=\]\[=(a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32})-(a_{31} a_{22} a_{13}+a_{32} a_{23} a_{11}+a_{33} a_{21} a_{12})\]
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Teraz, spróbuj samodzielnie obliczyć poniższe wyznaczniki macierzy stopnia 2 i 3.
Oblicz wyznacznik macierzy 2x2:
\[\det\left[\begin{array}{cc}1&0\\-3&0\end{array}\right]=?\]
Oblicz wyznacznik macierzy 3x3:
\[\det A=\left|\begin{array}{ccc}1&3&-1\\2&-1&1\\3&1&-2=\end{array}\right|=?\]
Chcesz poznać inne metody liczenia wyznacznika macierzy (rozwinięcia Laplacea i upraszczanie obliczeń przez operacje elementarne)? Zarejestruj się już teraz i zacznij naukę matematyki wyższej na przykładach, uzyskasz dostęp do kilkudziesięciu lekcji wideo, kursów, przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (0)