15 zadań egzaminacyjnych z algebry liniowej
15 zadań egzaminacyjnych z rozwiązaniami krok po kroku z algebry liniowej (5 zadań z liczb zespolonych i wielomianów, 7 zadań z macierzy i wyznaczników oraz 3 zadania z układów równań liniowych).
Nie daj się zaskoczyć - naucz się rozwiązywać nawet najtrudniejsze zadania i zdaj bez problemu!
ZADANIE 1
Dla jakich wartości parametru \(p\in\mathbb{R}\) macierz
\[A=\left[\begin{array}{ccc}0&1&p\\p^2&0&1\\1&1&0\end{array}\right]\]
jest nieosobliwa?
ZADANIE 2
Znajdź macierz odwrotną do macierzy wymiaru 4x4
ZADANIE 3
Macierz A spełnia warunek
\[A+A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\0&2&4\\0&0&3\end{array}\right].\]
Obliczyć \(A^2+A^{-2}.\)
ZADANIE 4
(a) Wyznacz macierz odwrotną do macierzy
\[A=\left[\begin{array}{cc}1&p\\1&2\end{array}\right]\]
używając metody bezwyznacznikowej (Gaussa).
(b) Dla jakich wartości parametru \(p\in\mathbb{R}\) istnieje macierz odwrotna do macierzy A?
ZADANIE 5
Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
\[\{z\in\mathcal{C}: |z+1|=|i-z|\}\]
ZADANIE 6
Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie z wyznacznikiem ("i" oznacza jednostkę urojoną)
\[\left|\begin{array}{ccc}z&0&0\\1&i&z\\(\overline{z})^5&-1&0\end{array}\right|=-i\]
ZADANIE 7
Znajdź pierwiastki wielomianu zespolonego
\[W(z)=z^2+2iz+1\]
ZADANIE 8
Dla jakich wartości zespolonego parametru \(p\in\mathbb{C}\) macierz
\[A=\left[\begin{array}{ccc}0&1&p\\p^2&0&1\\1&1&0\end{array}\right]\]
jest osobliwa?
ZADANIE 9
Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu
\[W(z)=z^4-3iz^2+4\]
ZADANIE 10
Znajdź wszystkie macierze kwadratowe, które są przemienne z macierzą
\[A=\left[\begin{array}{cc}2&-1\\3&-1\end{array}\right]\]
ZADANIE 11
Rozwiąż układ równań Cramera przy użyciu metody Gaussa\[\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&&&z&=&1\\2x&-&y&+&3z&=&0\\&&y&+&3z&=&1\end{array}\right.\]
ZADANIE 12
Stosując metodę Gaussa pokaż, że układ równań jest sprzeczny:\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}2x_1&+&x_2&-&x_3&+&x_4&=&1\\3x_1&-&2x_2&+&2x_3&-&3x_4&=&2\\5x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&-1\\2x_1&-&x_2&+&x_3&-&3x_4&=&4\end{array}\right.\]
ZADANIE 13
Znajdź macierz X, która spełnia równanie macierzowe
\[\left[\begin{array}{cc}3&-1\\-1&4\end{array}\right]-3I+2X=\left[\begin{array}{cc}2&5\\3& 1\end{array}\right]^T\]
gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego stopnia.
ZADANIE 14
Oblicz rząd macierzy:
\[\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2& 2&2\\3&3&3\\4&4&4\end{array}\right]\]
ZADANIE 15
Korzystając ze wzorów Cramera wyznacz niewiadomą \(z\) w układzie równań:
\[\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&&&z&=&1\\2x&-&y&+&3z&=&0\\&&y&+&3z&=&1\end{array}\right.\]
Dla kogo są te zadania egzaminacyjne
- dla osób, które mają już opanowane podstawy i w miarę dobrze rozumieją teorię (jeśli masz problemy z kompletnymi podstawami, to zapraszam do skorzystania z pełnego kursu macierzy lub kursu liczb zespolonych)
- dla osób, które chciałyby poznać triki i metody rozwiązywania typowych zadań, często występujących na kolokwiach i egzaminach
- dla osób, mających problemy ze zrozumieniem macierzy, wyznaczników lub liczb zespolonych oraz dla tych którzy chcieliby powtórzyć materiał, żeby się lepiej przygotować do kolokwium lub egzaminu
Komentarzy (0)