Jak obliczyć macierz odwrotną? [2 metody z przykładami]
Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A (ozn. A-1) to taka macierz, że
\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\]
gdzie I to macierz jednostkowa takiego samego stopnia jak macierz A.
Innymi słowy, gdy pomnożymy macierz A przez macierz do niej odwrotną (lub wykonamy to mnożenie w odwrotnej kolejności, tzn. pomnożymy macierz odwrotną przez macierz A), to zawsze w wyniku otrzymamy macierz jednostkową.
Macierz odwrotna istnieje tylko dla tzw. macierzy nieosobliwych (czyli takich, których wyznacznik jest różny od zera). Gdy \(\det A=0\) to macierz odwrotna \(A^{-1}\) nie istnieje!
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej
1. Standardowa metoda bazująca na obliczeniu wyznacznika macierzy i dopełnień algebraicznych + transponowanie macierzy.
Metoda składa się z 3 prostych kroków:
- oblicz wyznacznik macierzy, jeśli wyznacznik jest równy zero, to macierz odwrotna nie istnieje, jeśli jest różny od zera, to liczymy dalej
- oblicz dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy
- przetransponuj macierz zawierającą dopełnienia algebraiczne
W formie wzoru powyższy schemat obliczania macierzy odwrotnej będzie wyglądał następująco:
gdzie
- detA - oznacza wyznacznik macierzy A
- D11, D12,...,Dnn - dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów macierzy A
- symbol "T" - ozacza transponowanie macierzy
Warto zapamiętać (uproszczony) wzór na macierz odwrotną stopnia 2:
Literki a, b, c, d oznaczają oczywiście dowolne elementy macierzy.
Przykład liczenia macierzy odwrotnej do macierzy 2x2:
2. Metoda bezwyznacznikowa (metoda Gaussa, zwana też metodą dołączonej macierzy jednostkowej)
- obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową,
- następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach (!) tak utworzonej macierzy składającej się z dwóch blokowów
(UWAGA: W tej metodzie nie wolno wykonywać operacji elementarnych na kolumnach!), tak aby przekształcić macierz po lewej stronie do macierzy jednostkowej. - na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.
W skrócie ten schemat można zapisać tak:
Przykład - jak obliczyć macierz odwrotną metodą bezwyznacznikową?
Szukamy macierzy odwrotnej dla macierzy A postaci
Skorzystamy ze schematu:
Krok 1
Dopisujemy macierz jednostkową obok naszej macierzy:
Krok 2
Wykonujemy operacje elementarne na wierszach (Pamiętaj, że nie wolno wykonywać operacji na kolumnach!) naszej macierzy składającej się z 2 bloków w celu uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie (w miejscu macierzy A).
Naszym celem jest uzyskanie jedynek na przekątnej i zer poza przekątną, więc wykonujemy tylko takie operacje elementarne, które nam w tym pomogą:
Jak widzisz poprzez operacje elementarne na wierszach uzyskaliśmy macierz jednostkową po lewej stronie w naszej macierzy blokowej (lewy blok)...
Krok 3
Odczytujemy macierz odwrotną, która znajduje się po prawej stronie macierzy jednostkowej (prawy blok), tak jak to widać w schemacie:
czyli
Chcesz sprawdzić czy dobrze obliczyłeś/aś macierz odwrotną? Polecam ten świetny kalkulator macierzy.
Zapamiętaj własności macierzy odwrotnych, które przydają się w zadaniach
- macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest równa iloczynowi (w odwrotnej kolejności) macierzy odwrotnych
- macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest równa transponowanej macierzy odwrotnej (nie ważna jest kolejność, tzn. możemy najpierw obliczyć macierz odwrotną a później ją przetransponować lub równoważnie możemy najpierw wykonać transpozycję a potem wyznaczyć macierz odwrotną)
- macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest równa macierzy wyjściowej (podwójne odwrócenie macierzy nic nie zmienia)
- odwracanie macierzy wymiaru 2x2 można wykonać bez znajomości wzorów, wystarczy skorzystać z bardzo prostego schematu (o którym pisałem powyżej)
Oto wszystkie najbardziej użyteczne własności macierzy odwrotnej:
Zwróć uwagę szczególnie na pierwszą własność, która pozwala znacznie uprościć obliczenia, przez co oszczędzisz sporo czasu na kolokwium.
Dlaczego? To proste, dajmy na to że w zadaniu każą Ci obliczyć wyznacznik z macierzy odwrotnej do macierzy wymiaru 4x4...
Wzorem zapiszemy to tak: det(A-1). Żeby to obliczyć, musielibyśmy najpierw odwrócić macierz A i dopiero potem obliczyć wyznacznik macierzy A-1. Uwierz mi, że odwracanie macierzy stopnia 4 nie należy do najprzyjemniejszych, bo zwykle wymaga to wielu obliczeń i zabiera dużo czasu...
W tym mijscu z pomocą przychodzi nasza własność
\[\det(A^{-1})=(detA)^{-1}\]która mówi, że zamiast męczyć się z odwracaniem samej macierzy, możemy najpierw obliczyć wyznacznik... niby mała zmiana ale upraszcza to sytuację bardzo mocno!
Wystarczy przypomnieć sobie, że wyznacznik macierzy to nic innego jak zwykła liczba rzeczywista, więc (detA)-1 to po prostu jakaś liczba podniesiona do potęgi "-1", czyli odwrotność, tzn. \((detA)^{-1}=\frac{1}{\det A}\).
Podsumowując, zamiast męczyć się z odwracaniem macierzy i liczeniem wyznacznika, wystarczy, że obliczymy tylko wyznacznik oraz wyznaczymy odwrotność liczby rzeczywistej (a nie macierzy)!
Jeśli interesują Cię konkretne zadania z rozwiązaniami lub chcesz uczyć się z lekcji video, to zarejestruj się już teraz i zacznij naukę matematyki wyższej na przykładach, uzyskasz dostęp do dziesiątek lekcji wideo, kursów, przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (0)