5 najczęstszych błędów przy liczeniu całek i rozwiązywaniu równań
Błąd nr 5: Rozdzielanie ułamka
Ten błąd kosztował wiele już niejednego studenta, szczególnie przy okazji kolokwium z całek. Nie wolno Ci nigdy rozdzielać ułamków względem mianownika (czyli "dołu" ułamka).
\[\frac{a+b}{c+d}\neq\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\]
Zobacz co by było, gdyby wzór powyżej był prawdziwy...
\[{\bf\frac{1}{4}}=\frac{1+0}{2+2}=\frac{1}{2}+\frac{0}{2}={\bf\frac{1}{2}}\]
Możemy natomiast zawsze rozdzielić ułamek względem licznika ("góry" ułamka), czyli
\[\frac{a+b}{c+d}=\frac{a}{c+d}+\frac{b}{c+d}\]
Błąd nr 4: Problemy ze znakiem w równaniu
Rozwiązując równania najczęściej przenosimy jakieś zmienne lub liczby z jednej strony równości na drugą. Koniecznie musisz pamiętać, żeby zawsze zmienić znak na przeciwny przy takiej operacji. O co mi chodzi? No więc popatrzmy na ten przykład równania, w którym mamy znaleźć niewiadomą x
\[2x+3=3x-4\]
Oczywiście wystarczy teraz przenieść niewiadome na jedną stronę równości a wiadome (czyli liczby) na drugą. Musimy pamiętać przy tym o zmianie znaku na przeciwny, czyli
\[2x{{\color{red}-}}3x=-4{ {\color{red}-}}3\]
(ale nie! \(2x{{\color{red}+}}3x=-4{\bf {\color{red}+}}3\))
czyli \(-x=-7/{^.}(-1)\), więc ostatecznie \(x=7\).
Błąd nr 3: Problemy ze zwrotem nierówności
Na ten błąd uważaj szczególnie przy okazji rozwiązywania nierówności z liczbami zespolonymi. Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną trzeba zmienić zwrot nierówności na przeciwny, np chcąc znaleźć wszystkie wartości x spełniające nierówność
\[-2x{\color{red}<}4\]
musimy obie strony podzielić przez -2, czyli\[-2x<4/:(-2)\]a stąd mamy\[x{\bf{\color{red}>}}-2\](jak widzisz nierówność zmieniła swój zwrot)
Błąd nr 2: Upraszczanie i skracanie ułamka
Nigdy nie wolno nam upraszczać lub skracać licznika i mianownika ułamka w ten sposób
\[\frac{{\color{red}2}a+b}{{\color{red}2}c+d}\neq\frac{a+b}{c+d}\]
(mam na myśli skracanie liczby "2")
tak też nie wolno
\[\frac{{\color{red}2}a+b}{{\color{red}2}(c+d)}\neq\frac{a+b}{c+d}\]
(tutaj też skrócenie "2" jest niedozwolone)
Pytanie więc jak można uprościć ułamek? Otóż, należy wyciągnąć z licznika i mianownika wspólny czynnik przed nawias i ewentualnie wtedy go skrócić. Przykład
\[\frac{2a+4b}{6c+2d}=\frac{{\color{red}2}(a+2b)}{{\color{red}2}(3c+d)}=\frac{a+2b}{3c+d}\]
(przy iloczynach w liczniku i mianowniku można dokonać skrócenia)
Błąd nr 1: Przeoczenie rozwiązania przy dzieleniu obu stron równania
Ostatni błąd wygląda niewinnie, ale to tylko pozory, bo jego popełnienie może skutkować utratą wielu punktów na kolokwium.
Najlepszym sposobem na rozwiązanie równania wielomianowego (czyli takiego z potęgami, np. równanie kwadratowe) jest doprowadzenie go do postaci iloczynowej. Należy unikać dzielenia obu stron równania przez jakąkolwiek niewiadomą (nie mówię tu o dzieleniu przez liczbę, takie dzielenie jest wręcz niezbędne). Spróbujmy rozwiązać równanie 3-go stopnia
\[x^3-4x=0\]
Wielu studentów podzieliłoby teraz obie strony tego równania przez x, żeby obniżyć stopień i mieć zwykłe równanie kwadratowe. Nie jest to najlepszy sposób, bo trzeba pamiętać, że x=0 też jest rozwiązaniem tego równania i na końcu w odpowiedzi do zadania trzeba to uwzględnić.
Do tego przy dzieleniu obu stron przez x trzeba założyć, że \(x\neq 0\), bo przecież nie można dzielić przez 0 (x jest dowolną liczbą rzeczywistą, czyli może być równy 0).
Dlatego, żeby nie komplikować sobie życia najlepiej wyciągnąć po lewej stronie naszego równania niewiadomą x przed nawias, czyli
\[{\color{red}x}(x^2-4)=0\]
teraz wystarczy zastosować wzór skróconego mnożenia
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
(u nas a=x, b=2) i stąd mamy
\[x(x-2)(x+2)=0\]
Na koniec musimy skorzystać z faktu, że jeżeli iloczyn 3 liczb (u nas te 3 liczby to x, x-2 oraz x+2) jest równy 0 to
- pierwsza liczba jest równa zero, dlatego u nas x=0
- lub druga liczba jest równa zero, stąd mamy x-2=0
- lub trzecia liczba jest równa 0, stąd u nas x+2=0
Jak widzisz w ten sposób otrzymujemy wszystkie rozwiązania naszego równania (łącznie z x=0) i nie musimy martwić się dzieleniem przez zero. Zbiór rozwiązań naszego równania to \(x\in\{0,2,-2\}\).
Chcesz poznać inne pułapki, które czychają na studentów kierunków technicznych? Ucz się z lekcji wideo, zobacz typowe przykłady i rozwiązuj zadania testowe. Jedyne co musisz zrobić to się zarejestrwoać.
Komentarzy (0)