Kilka własności matematycznych, o których musisz zawsze pamiętać
Działania na potęgach
Wydają się oczywiste, a jednak tak wielu studentów pepełnia błędy wykonując te działania
- liczba podniesiona do ujemnej potęgi jest równa odwrotności, tzn. \(\bf a^{-n}=\frac{1}{a^n}, a\neq 0\), przykład \(\frac{1}{x^{-2}}=\frac{1}{\frac{1}{x^2}}=x^2\)
- pierwiastek n-tego stopnia z dowolnej liczby jest równy tej liczbie podniesionej do potęgi \(\frac{1}{n}\), czyli \(\bf \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\) , przykład: \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
- dodajemy wykładniki w przypadku iloczynu potęg o tych samych podstawach: \(\bf a^m a^n=a^{m+n}\) , przykład \(\sqrt{x}x^5=x^{\frac{1}{2}}x^5=x^{\frac{1}{2}+5}=x^{5\frac{1}{2}}\)
- odejmujemy wykładniki w przypadku ilorazu potęg o tych samych podstawach: \(\bf \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
- potęga iloczynu jest iloczynem potęg: \(\bf (ab)^n=a^{n}b^n\), przykład \(2^{123}\left(\frac{1}{2}\right)^{123}=\left(2\, \frac{1}{2}\right)^{123}=1^{123}=1\)
(zobacz jak bardzo ta własność może uprościć obliczenia, bo dużo trudniej byłoby, gdybyśmy póbowali liczyć osobno \(2^{123}\) oraz \(\left(\frac{1}{2}\right)^{123}\)) - potęga ilorazu jest ilorazem potęg: \(\bf \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^{n}}{b^n}\)
- mnożymy wykładniki w przypadku potęgowania potęgi: \(\bf (a^n)^m=a^{nm}\)
Zapamiętanie własności potęgowania to podstawa sukcesu w algebrze liniowej, szczególnie przy okazji zadań z wielomianów i liczb zespolonych, a także w analizie matematycznej w zadaniach z pochodnymi, całkami i szeregami liczbowymi.
Wzory skróconego mnożenia
Niejeden student poległ na kolokwium, bo nie uprościł obliczeń korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
- różnica kwadratów, czyli \(\bf a^2-b^2=(a-b)(a+b)\),
jest bardzo ważnym wzorem, który trzeba umieć stosować zarówno od "lewej do prawej" jak i od "prawej do lewej", tzn. gdy pojawi się w obliczeniach \(\bf a^2-b^2\) to możemy to zamienić na \(\bf (a-b)(a+b)\), a gdy pojawi się \(\bf (a-b)(a+b)\) to możemy to zamienić na \(\bf a^2-b^2\).
Przykład: \( x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\).
W kolejnym przykładzie, który Ci zaraz pokażę "i" oznacza jednostkę urojoną, która posiada własność \(\bf i^2=-1\).
\(\bf (a-b{\color{red}i})(a+b{\color{red}i})=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2\) - kwadrat sumy i różnicy: \(\bf (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \(\bf (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Te wzory to niby nic trudnego, ale czasem trzeba uzupełnić wyrażenie do wzoru skróconego mnożenia poprzez dodanie i odjęcie "czegoś", co to znaczy?
Zobacz sam: \(\bf a^2+b^2=a^2+b^2+2ab-2ab=(a+b)^2-2ab\).
Jak widzisz uzupełniłem wyrażenie \(\bf a^2+b^2\) do sumy kwadratów poprzez dodanie i odjęcie składnika \(\bf 2ab\).
Możemy to również napisać tak:\(\bf a^2+b^2=a^2+b^2-2ab+2ab=(a-b)^2+2ab\).
Technikę uzupełniania do wzoru skróconego mnożenia (dodanie i odjęcie tego samego wyrażenia) stosuje się bardzo często w analizie matematycznej i algebrze liniowej, np. przy liczeniu całek oraz przy okazji zadań z krzywych stozkowych (elipsa, hiperbola i parabola).
Funkcje trygonometryczne
Opanowanie własności funkcji trygonometrycznych do klucz do zdanej algebry liniowej, szczególnie przy okazji działu liczby zespolone, gdzie masz np. do czynienia z postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
- jedynka trygonometryczna: \(\bf \sin^2x+\cos^2x=1\)
- przesunięcie "sinusa" względem "cosinusa" o kąt \(\bf \frac{\pi}{2}\) (jest to prosta zależność między funkcją sinus a cosinus): \(\bf \sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right),\,\,\,\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) \)
- cosinus jest funkcją parzystą, tzn. \(\bf \cos(-x)=\cos x\),
a sinus nieparzystą, czyli \(\bf \sin(-x)={\color{red}-}\sin x\) - wzór na sinus podwojonego kąta: \(\bf \sin 2x=2\sin x \cos x\)
- wzór na cosinus podwojonego kąta: \(\bf \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\)
Ostatnie dwa wzory są niezwykle przydatne w zadaniach dotyczących całek z funkcjami trygonometrycznymi. W poniższej tabelce znajdziesz wartości funkcji trygonometrycznych dla kilku najczęściej pojawiających się w zadaniach wielkości kąta
Chcesz nauczyć się matematyki wyższej z lekcji wideo, potrzebujesz wsparcia doktora nauk matematycznych? Zarejestruj się i natychmiast zyskaj dostęp do dziesiątek lekcji wideo, przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (0)