Jak rozwiązywać nierówności z modułem liczby zespolonej?

Ostatnio jeden ze studentów zapytał mnie:

"Jak rozwiązać nierówność z modułem liczby zespolonej $|iz + 1 - 2i| < 3$ ? Gdyby nie było tam "iz" to wiem, że rozwiązaniem będzie wnętrze koła (bez brzegu), ale co zrobić gdy będzie "iz"?"

Zacznijmy od początku...

czyli od nierówności typu

$|z-z_0|<r$ gdzie

z - to szukane liczby zespolone, spełniające powyższą nierówność
z₀ - to podana liczba zespolona (np. z₀=1-2i lub z₀=i itp.)
r - to podana liczba rzeczywista dodatnia (np. r=0.8 lub r=2 itp.)

Przykład:

$|z+1-2i|<3$

Zbiór rozwiązań takiej nierówności to wnętrze koła o środku w punkcie z₀ oraz promieniu r. W naszym przykładzie mamy:

$z_0=-1+2i,\,\,r=3$

Zastanawiasz się pewnie skąd się wzięło z₀=-1+2i? Zauważ, że w schemacie mamy minus przed z₀ (|z - z0|<r), więc musimy ten minus uwzględnić przy wyznaczaniu z₀.
Należy więc najpierw przekształcić naszą nierówność zespoloną do postaci:

$|z-(-1+2i)|<3$ czyli dokładnie tak jak w schemacie

$|z-z_0|<r$ teraz mamy z₀ widoczne jak na dłoni:-)

Oto lekcja video, która pomoże Ci zrozumieć dokładnie o co chodzi w schemacie rozwiązywania nierówności z modułem liczby zespolonej:

Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"

Potrafisz już rozwiązać nierówność z modułem typu

$|z-z_0|<r$ Pytanie jak poradzić sobie z nierównością w której pojawia się to nieszczęsne "iz", czyli np.

$|iz+1-2i|<3$ Pomysł jest prostszy niż Ci się wydaje...:-) Wystarczy doprowadzić powyższą nierówność do tej znanej ze schematu - czyli tak, żeby nie było "iz" tylko samo "z". Można to zrobić na dwa różne sposoby:

SPOSÓB 1

1. Zauważmy, że |i| = |-i| = 1 (moduł jednostki urojonej wynosi 1). Wykorzystajmy to i pomnóżmy obie strony naszej nierówności właśnie przez |-i| (za chwilę zobaczysz dlaczego mnożymy przez |-i| a nie przez |i|...), czyli

$|-i||iz+1-2i|<|-i|3$

2. Po lewej stronie nierówności korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli

$|z_1| |z_2| = |z_1 z_2|$

u nas z₁ = -i, z₂ = iz + 1-2i więc

$|-i|\cdot |iz + 1 - 2i| = |(-i)\cdot (iz + 1 - 2i ) | = |z + (-i)\cdot (1 - 2i)| = |z - i - 2|$

Stąd ostatecznie otrzymujemy nierówność:

$|z - (2 + i)| < 3$ do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z₀| < r.

SPOSÓB 2

1. Wyciągamy "i" przed nawias:

$\left|i \left(z + \frac{1 - 2i}{i}\right)\right| < 3$

2. Korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli

$|z_1 z_2|=|z_1| |z_2|$

u nas

$z_1 = i,\,\, z_2 = z + \frac{1-2i}{i}$

stąd

$\left|i \left(z + \frac{1 - 2i}{i}\right) \right|=|i| \left|z + \frac{1 - 2i}{i}\right|$

Ponieważ |i|=1, więc otrzymujemy nierówność

$\left|z + \frac{1 - 2i}{i}\right| < 3$

3. Jak widzisz jesteśmy już blisko znanego schematu. Teraz trzeba jeszcze tylko wykonać dzielenie liczb zespolonych

$\frac{1 - 2i}{i} = \frac{1}{i} - \frac{2i}{i}=-i-2$

stąd ostatecznie dochodzimy do łatwej nierówności

$|z - (2 + i)|<3$

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z₀| < r.
Zauważ, że nierówności otrzymane 2 sposobami są dokładnie takie same. Sam(-a) wybierz metodę, która Ci bardziej pasuje:-)

Jeśli chcesz poznać metody rozwiązywania innych nierówności zespolonych to zapraszam Cię do zarejestrowania się w serwisie. Zyskasz dostęp do dziesiątków lekcji wideo, przykładów i zadań testowych.

Zarejestruj się i odbierz bonus

Jak rozwiązywać nierówności z modułem liczby zespolonej?

Zacznijmy od początku...

Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"

Komentarzy (0)

Logowanie