Jak obliczyć rząd macierzy z parametrem? [VIDEO]
W tej lekcji pokażę Ci jak rozwiązać typowe zadanie dotyczące rzędu macierzy, które często pojawia się na kolokwiach z algebry liniowej. Oto treść zadania:
Oblicz rząd macierzy A w zależności od nieznanego parametru p:
ROZWIĄZANIE
1. Schemat obliczenia rzędu macierzy z parametrem - teoria
Do obliczenia rzędu macierzy z parametrem najlepiej użyć metody Gaussa, która składa się z 2 kroków:
- Wykonaj operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy, tak aby doprowadzić macierz do postaci schodkowej
- Zobacz ile "schodków" ma macierz w zależności od parametru \(p\) i na tej podstawie określ ile wynosi rząd macierzy. Pamiętaj, że liczba schodków = rząd macierzy.
Jeśli chcesz sobie przypomnieć pojęcia, które pojawiły się powyżej to odwiedź słownik macierzowy lub zobacz poniższe odnośniki.
- jest to macierz, którą (zwykle) otrzymujemy po wykonaniu operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy wyjściowej
- macierz w postaci schodkowej jest równoważna macierzy wyjściowej w tym sensie, że rzędy obu macierzy są sobie równe
- postać schodkowa macierzy charakteryzuje się tym, że poniżej "schodków" (zwykle pewnej przekątnej macierzy) występują same zera
PRZYKŁADY:
Pierwsza macierz ma 3 schodki (tworzą je liczby -3,1,-5 zaznaczone na czerwono), ponieważ poniżej "schodków" (a dokładniej przekątnej przez nie utworzonej) występują same zera:
Druga macierz zawiera 4 schodki utworzone przez liczby 1,2,3,4. Poniżej schodków występują oczywiście same zera:
2. Jak obliczyć rząd macierzy z parametrem - rozwiązanie zadania
Zgodnie ze schematem omówionym w części teoretycznej, zaczynamy wykonywać operacje elementarne na wierszach i kolumnach naszej macierzy (realizujemy punkt 1 schematu).
Oczywiście naszym celem jest doprowadzenie macierzy do postaci schodkowej, więc wykonujemy tylko takie operacje elementarne, które nas do tego przybliżą (dążymy do utworzenia schodków i wyzerowania elementów macierzy stojących poniżej).
Na początek warto pomyśleć o wyzerowaniu jak największej liczby elementów ostatniego wiersza macierzy. W tym celu odejmijmy od 4 wiersza wiersz nr 1 (w4-w1):
Dzięki temu uda nam się wyzerować aż 3 elementy ostatniego wiersza:
Ponieważ dążymy ciągle do postaci schodkowej, więc teraz warto spróbować wyzerować elementy pierwszej kolumny. Jak widzisz w tym celu odejmuję od pierwszej kolumny kolumnę nr 3 (k1-k3) i dzięki temu dostaję kolejne zero w pierwszej kolumnie (i drugim wierszu):
Szczęśliwie 1 i 3 element, pierwszej kolumny naszej macierzy, mają przeciwne znaki, więc oczywiście teraz warto dodać do 3 wiersza wiersz nr 1 (w3+w1) i w ten sposób dostajemy upragnioną postać schodkową:
Ok, doszliśmy do postaci schodkowej, ale co dalej? Oczywiście przypominamy sobie schemat, o którym pisałem w części teoretycznej (na początku rozwiązania)... czyli patrzymy na liczbę schodków w macierzy w zależności od parametru \(p\). Brzmi skomplikowanie? Spokojnie, już wyjaśniam o co chodzi.
Badanie liczby schodków w zależności od parametru polega na przyjmowaniu za \(p\) takich wartości liczbowych, które spowodują wyzerowanie elementów macierzy (oczywiście tych elementów, w których pojawia się parametr \(p\)).
Nie trudno zauważyć, że np. gdy \(p=0\), to wyzeruje się element macierzy stojący w 4 wierszu i 4 kolumnie. Mamy wtedy 3 schodki, więc i rząd naszej macierzy dla p=0 będzie równy 3 (bo jak pamiętasz ilość schodków=rząd macierzy).
Gdy \(p=1\), to wyzeruje się element macierzy stojący w 3 wierszu i 3 kolumnie (\(p-1=0\) dla \(p=1\)). Mamy wtedy znowu 3 schodki, dlaczego? Otóż, jeżeli zamiast elementu \(p-1\) mamy w macierzy 0, to możemy odjąć od wiersza czwartego wiersz trzeci pomnożony przez \(\frac{1}{6}\) (czyli \(w_4-\frac{1}{6}w_3\)) i w ten sposób wyzerujemy element stojący w 4 wierszu, a to zonacza, że w macierzy będą tylko 3 schodki. Zatem, dla \(p=1\) rząd macierzy A jest równy 3.
Gdy \(p=2\) wyzeruje się element stojący w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie oraz element w drugim wierszu i drugiej kolumnie. Oznacza to, że rząd macierzy również w tym przypadku jest równy 3.
Gdy parametr \(p\) jest liczbą rzeczywistą różną od liczb 0, 1, 2, to liczba schodków w macierzy A wynosi 4, zatem rząd macierzy w tym przypadku jest równy 4.
Ostatecznie otrzymujemy następujące rozwiązanie:
Jeżeli nadal nie rozumiesz jak obliczyć rząd macierzy z parametrem, to polecam...
3. Rozwiązanie zadania krok po kroku - wideo
Oto wersja rozwiązania zadania w formie video z tłumaczeniem krok po kroku:
Mam nadzieję, że wszystko było dla Ciebie zrozumiałe. Jeśli spodobał Ci się sposób w jaki tłumaczę algebrę liniową, to rozważ proszę rejestrację w serwisie, dzięki temu uzyskasz dostęp do kilkudziesięciu lekcji video, mnóstwa przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (0)