Macierze - słownik pojęć z przykładami

Macierz odwrotna

• jest to macierz, która po przemnożeniu przez macierz wyjściową daje w wyniku macierz jednostkową (A*A^-1=A^-1A=I)
• co trzeba umieć: (metoda 1) wzór na macierz odwrotną, umieć obliczyć wyznacznik macierzy, transponować macierz, liczyć dopełnienia algebraiczne lub (metoda 2) wykonywać operacje elementarne i wiedzieć czym jest macierz jednostkowa

 Ogólny wzór

gdzie

• detA - oznacza wyznacznik macierzy A
• D₁₁, D₁₂,...,D_nn - dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów macierzy A
• symbol "T" - ozacza transponowanie macierzy

Warto zapamiętać uproszczony wzór na macierz odwrotną do macierzy wymiaru 2x2:

Literki a, b, c, d oznaczają oczywiście dowolne elementy macierzy.

Schemat wyznaczania macierzy odwrotnej ze wzoru

1. Oblicz dowolną metodą wyznacznik macierzy A, jeśli wyznacznik jest różny od 0 to istnieje macierz odwrotna (jeśli jest równy 0 to macierz odwrotna nie istnieje)
2. Oblicz wszystkie minory dla poszczególnych elementów macierzy A. Np. dla elementu a₁₁ minor to wyznacznik macierzy powstałej po skreśleniu pierwszej kolumny i pierwszego wiersza
3. Utwórz macierz złożoną z minorów. Wpisz w miejsce każdego elementu macierzy A, odpowiadający mu minor
4. Przemnóż wszystkie minory przez (-1)^j+k gdzie j jest numerem wiersza, k jest numerem kolumny
5. Przetransponuj macierz minorów
6. Przemnóż każdy element macierzy minorów przez odwrotność wyznacznika macierzy A \(\left(\frac{1}{detA}\right)\)

Schemat wyznaczania macierzy odwrotnej metodą bezwyznacznikową

1. Dopisz do macierzy A macierz jednostkową tego samego stopnia (co macierz A). Utwórz w ten sposób macierz blokową [A | I]
2. Wykonuj operacje elementarne na wierszach (przestawianie wierszy między sobą, mnożenie wierszy przez stałą różną od zera, tworzenie kombinacji liniowych wierszy) dążąc do otrzymania macierzy jednostkowej po lewej stronie w macierzy blokowej [I | A^-1]

Rząd macierzy

• największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy (minor to wyznacznik macierzy kwadratowej "wyjętej" z danej macierzy poprzez skreślanie wierszy i kolumn)
• liczba schodków w macierzy schodkowej
• rząd macierzy służy do określania liczby rozwiązań układu równań liniowych (tw. Kroneckera-Capellego) oraz do sprawdzania czy układ wektorów jest liniowo niezależny
• co trzeba umieć:(metoda 1) obliczać wyznaczniki macierzy lub (metoda 2) znać eliminację Gaussa i umieć doprowadzić macierz do postaci schodkowej
  

Eliminacja Gaussa

• jest to bezwyznacznikowa metoda obliczania rzędu macierzy (a także macierzy odwrotnej)
• metoda Gaussa polega na wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy w celu doprowadzenia (uproszczenia) jej do postaci schodkowej
• co trzeba umieć: operacje elementarne na wierszach
  

Postać schodkowa macierzy

• jest to macierz, którą (zwykle) otrzymujemy po wykonaniu operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy wyjściowej
• macierz w postaci schodkowej jest równoważna macierzy wyjściowej w tym sensie, że rzędy obu macierzy są sobie równe
• postać schodkowa macierzy charakteryzuje się tym, że poniżej "schodków" (zwykle pewnej przekątnej macierzy) występują same zera

Pierwsza macierz ma 3 schodki (tworzą je liczby -3,1,-5 zaznaczone na czerwono), ponieważ poniżej "schodków" (a dokładniej przekątnej przez nie utworzonej) występują same zera:

Druga macierz zawiera 4 schodki utworzone przez liczby 1,2,3,4. Poniżej schodków występują oczywiście same zera:

Operacje elementarne

• są to operacje, które mozna wykonywać na wierszach lub kolumnach macierzy
• operacje elementarne nie zmieniają wyznacznika macierzy oraz rzędu macierzy
• dozwolone operacje elementarne to: 1. dodanie do jakiegoś wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez liczbę, 2. zamiana wierszy (kolumn) między sobą, 3. pomnożenie całego wiersza (kolumny) macierzy przez liczbę różną od zera

• operacje elementarne pomagają w obliczaniu wyznacznika i rzędu macierzy

• co trzeba umieć: wiedzieć czym jest wiersz i kolumna macierzy

Wyznacznik macierzy

• wyznacznik jest najczęściej liczbą rzeczywistą (lub zespoloną)
• jest podstawowym elementem wzoru na macierz odwrotną oraz pomaga w określeniu rzędu macierzy
• macierz odwrotna nie istnieje, gdy wyznacznik macierzy jest równy zero
• co trzeba umieć metoda Sarrusa (dla macierzy wymiaru 3x3), rozwinięcia Laplacea (dowolne macierze), operacje elementarne (dowolne macierze)

Układ równań liniowych

• wiele równań liniowych w których powtarzają się niewiadome, każdy układ równań liniowych można zapisać w postaci równania macierzowego
• aby określić liczbę rozwiązań układu równań wystarczy znać rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
• aby rozwiązać układ równań liniowych można użyć podstawiania, metody graficznej, przeciwnych współczynników, macierzy odwrotnej lub metody Gaussa,
• co trzeba umieć: rząd macierzy, twierdzenie Kroneckera-Capellego, eliminacja Gaussa, macierz odwrotna

Przykład układu 3 równań z 3 niewiadomymi

Układ równań - postać teoretyczna:

Metody rozwiązywania układów równań

Schemat rozwiązywania układu równań liniowych

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

• do określenia ile rozwiązań ma układ równań liniowych
• co trzeba umieć: rząd macierzy

{slider Zobacz jak zastosować twierdzenie Kroneckera-Capellego|orange|closed}

Rodzaje macierzy

Macierz osobliwa i nieosobliwa

• macierz osobliwa: macierz posiadająca wyznacznik równy zero (nie posiada macierzy odwrotnej)
• macierz nieosobliwa: macierz posiadająca wyznacznik różny od zera (posiada macierz odwrotną)

Macierz jednostkowa

• macierz kwadratowa posiadająca jedynki (1) na głównej przekątnej
• podstawowe pojęcie w definicji macierzy odwrotnej oraz w metodzie bezwyznacznikowej obliczania macierzy odwrotnej

Macierz jednostkowa stopnia 3

Macierz jednostkowa stopnia 4

Macierz kwadratowa

• jest to macierz posiadająca taką samą liczbę wierszy i kolumn (liczba wierszy = liczba kolumn)

Przykład macierzy kwadratowej

Macierz diagonalna

• macierz kwadratowa posiadająca zera poza główną przekątną

Macierz diagonalna stopnia 3

Macierz diagonalna stopnia 4

Macierz symetryczna

• macierz kwadratowa, która po transponowaniu pozostaje niezmieniona (identyczna)
• A=A^T

Macierz symetryczna stopnia 3

Macierz symetryczna stopnia 4

Macierz antysymetryczna

• macierz kwadratowa, która posiada na przekątnej same zera oraz po przetransponowaniu jest równa macierzy wyjściowej przemnożonej przez -1
• A=-A^T

Macierz antysymetryczna stopnia 3

Macierz antysymetryczna stopnia 4

Macierz trójkątna górna

• macierz kwadratowa posiadająca zera poniżej głównej przekątnej

Przykład macierzy trójkątnej górnej

Macierz trójkątna dolna

• macierz kwadratowa posiadająca zera powyżej głównej przekątnej

Przykład macierzy trójkątnej dolnej

Jeśli chcesz poznać typowe schematy, triki i metody rozwiązywania zadań z matematyki wyższej, to zapraszam do rejestracji, dzięki której uzyskasz dostęp do kilkudziesięciu kursów wideo, przykładów oraz zadań z rozwiązaniami.

• « Poprzednia część
• Następna część »

Komentarzy (0)

• Imię
• E-mail (niewidoczny)
• Komentarz

Cancel or WYŚLIJ