Liczby zespolone - podstawy
Przed przystąpieniem do nauki podstaw liczb zespolonych wydrukuj sobie (oczywiście jeśli masz taką mozliwość) poniższe pliki pdf - znajdziesz w nich potrzebne wzory, przykłady oraz rozwiązania zadań utrwalających podstawy:
podstawy liczb zespolonych - teoria i przykłady [pdf]
podstawy liczb zespolonych - zadania [pdf]
Poniższe filmy video zawierają wyajśnienie teorii oraz przykłady. Z pierwszego dowiesz się jakie są zastosowania liczb zespolonych (szczególnie ważne dla studentów elektroniki oraz automatyki i robotyki)
Jednostka urojona i zapisywanie liczb ujemnych za jej pomocą
Co to jest jednostka urojona, jak zapisywać pierwiastki z liczb ujemnych za pomocą jednostki urojonej i odwrotnie? Wiedza czym jest jednostka urojona oraz umiejętność zapisywania liczb ujemnych za pomocą jednostki urojonej, będzie wręcz niezbędna w dalszej nauce liczb zespolonych, dlatego zalecam Ci szczególne skupienie się nad tym materiałem...
ZAPAMIĘTAJ: Jednostkę urojoną oznaczamy literką \(i\). Jednostka urojona jest zdefiniowana przez równanie \(i^2=-1\)
Część rzeczywista i urojona oraz postać algebraiczna liczby zespolonej
Postać algebraiczna liczby zespolonej, część rzeczywista i urojona. Są to bardzo ważne pojęcia, które podobnie jak jednostka urojona, będą się przewijały w trakcie całego kursu liczb zespolonych (szczególnie przy równaniach zespolonych oraz zadaniach z interpretacją geometryczną nierówności z częścią rzeczywistą i urojoną). Tutaj również zalecam szczególne skupienie.
ZAPAMIĘTAJ: Każdą liczbę zespoloną \(z\) można zapisać w postaci \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) oraz \(x=Re(z)\) nazywamy częścią rzeczywistą, a \(y=Im(z)\) nazywamy częscią urojoną.
ZADANIE TESTOWE: Jaka jest część rzeczywista i urojona podanych liczb zespolonych?
\[{\bf (a)}\,\,z=\pi x-2i\\ {\bf (b)}\,\,z=\sin \alpha+\cos \alpha\, i\]
Rozwiązanie równania kwadratowego z ujemną deltą za pomocą liczb zespolonych
Jak za pomocą liczb zespolonych rozwiązać równanie kwadratowe, gdy delta jest mniejsza od zera (ujemna)? Metoda którą Ci zaraz pokażę jest niezwykle ważna przy rozwiązywaniu innych równań zespolonych oraz przy obliczaniu pierwiastków zespolonych. Skup się, to bardzo ważny materiał...
ZADANIE TESTOWE: Korzystając z liczb zespolonych rozwiąż równanie kwadratowe
\[5z^2-2z+1=0\]
Oznaczenia, które spotkasz w zadaniach z liczbami zespolonymi
Najczęściej stosowane oznaczenia dotyczące liczb zespolonych, sposoby zapisu, symbole. Obejrzyj jeśli masz problemy z zapamiętywaniem różnych oznaczeń i symboli matematycznych oraz jeżeli chcesz rozumieć treści zadań z liczb zespolonych.
Co to jest płaszczyzna zespolona oraz jak narysować/zaznaczyć na płaszczyźnie liczbę zespoloną?
Płaszczyzna zespolona i interpretacja geometryczna liczb zespolonych. Zobacz, jak zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej? Kolejne bardzo ważne (choć wcale nie trudne) zagadnienie dotyczące liczb zespolonych. Z interpretacją geometryczną na płaszczyźnie zespolonej będziesz mieć doczynienia przy rozwiązywaniu większości zadań, np. z równań i nierównośći z modułem i argumentem liczby zespolonej.
ZAPAMIĘTAJ: Każdej liczbie zespolonej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) odpowiada punkt na płaszczyźnie zespolonej o współrzędnych (x,y).
Moduł, sprzężenie i argument liczby zespolonej
Co to jest moduł, sprzężenie i argument liczby zespolonej oraz jaka jest ich nterpretacja geometryczna? Są to podstawowe pojęcia związane z liczbami zespolonymi, będą pojawiały się w większości zadań...
ZAPAMIĘTAJ: Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) oznaczamy przez \(|z|\) i liczymy ze wzoru \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\).
ZAPAMIĘTAJ: Sprzężenie liczby zespolonej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) oznaczamy przez \(\overline{z}\). Sprzężenie liczby \(z\) to liczba zespolona \(\overline{z}=x-yi\)
Sposoby reprezentacji (zapisu) liczb zespolonych i powtórka całego materiału
Co to jest postać algebraiczna oraz postać trygonometryczna i wykładnicza + krótka powtórka całego materiału z liczb zespolonych
ZAPAMIĘTAJ: Liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), w postaci geometrycznej
3 podstawowe zadania z liczb zespolonych z rozwiązaniami krok po kroku
Liczby zespolone zadania z rozwiązaniami krok po kroku - 3 zadania z postacią algebraiczną, częścią rzeczywistą i urojoną oraz z interpretacją geometryczną liczby zespolonej. Zobacz treść zadania i spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać każde zadanie, na koniec porównaj swoje rozwiązania z pokazanymi w filmie. Powodzenia!
Na co zwrócić szczególną uwagę ucząc się liczb zespolonych?
- bezwzględnie należy zapamiętać schemat zapisywania pierwiastka z liczby ujemnej za pomocą jednostki urojonej. Przy rozwiązywaniu zadań z liczb zespolonych zawsze trzeba pamiętać, że \(i^2=-1\). Trzeba mieć to na uwadze szczególnie pisząc odpowiedź do zadania (np. pisząc, że wynik obliczeń wynosi \(z=\sqrt{-2}\,\) stracisz punkty za to zadanie... Musisz koniecznie zapisać pierwiastek z liczby ujemnej za pomocą jednostki urojonej, tzn. \(z=\sqrt{2}\,i\))
- pamiętaj, że część rzeczywista liczby zespolonej to liczba rzeczywista, wyrażenie lub symbol, który nie stoi przy jednostce urojonej, np. część rzeczywista liczby \(\sin\alpha+\cos\alpha\, i\,\) (gdzie \(\alpha\,\) to dowolny kąt), to \(\sin\alpha\)
- część urojona liczby zespolonej to liczba rzeczywista, wyrażenie lub symbol stojący "przy" jednostce urojonej, np. część urojona liczby \(\sin\alpha+\cos\alpha\, i\), to \(\cos\alpha\)
Napisz do mnie koniecznie, jeśli masz jakieś pytania, coś jest niejasne lub zauważyłeś błędy w filmach video. Chcesz nauczyć się szybko i bezboleśnie całego materiału z liczb zespolonych? Zarejestruj się, aby uzyskać dostęp do lekcji wideo, przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (0)