Argumenty liczb zespolonych, które najczęściej spotkasz w zadaniach + przydatne własności
Oto pojawiające się często w zadaniach liczby zespolone o module równym jeden, których argumenty są równe wielokrotności kąta \(\frac{\pi}{6}\) oraz \(\frac{\pi}{4}\).
Argumenty liczb zespolonych [pdf do pobrania]
|
\(\arg\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\frac{\pi}{6}\) |
\(\arg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\frac{\pi}{4}\) |
|
\(\arg\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\) |
\(\arg(i)=2\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\) |
| \(\arg\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=4\cdot\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\pi}{3}\) |
\(\arg\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=3\cdot\frac{\pi}{4}\) |
| \(\arg\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=5\cdot\frac{\pi}{6}\) | \(\arg(-1)=4\frac{\pi}{4}=\pi\) |
|
\(\arg\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=7\cdot\frac{\pi}{6}\) |
\(\arg\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=5\cdot\frac{\pi}{4}\) |
|
\(\arg\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=8\cdot\frac{\pi}{6}=4\cdot\frac{\pi}{3}\) |
\(\arg(-i)=6\frac{\pi}{4}=\frac{3}{2}\pi\) |
|
\(\arg\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=10\cdot\frac{\pi}{6}=5\cdot\frac{\pi}{3}\) |
\(\arg\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=7\cdot\frac{\pi}{4}\) |
Poniżej możesz zobaczyć liczby zespolone z tabelki oraz ich argumenty zaznaczone na płaszczyźnie zespolonej. Argumenty równe wielokrotności kąta \(\frac{\pi}{6}\) znajdują się w niebieskich trójkątach, natomiast wielokrotności kąta \(\frac{\pi}{4}\) znajdują się w szarych elipsach.
Argumenty liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej [pdf do pobrania]
Bardzo przydatne własności argumentu zespolonego
Ucząc się materiału związanego z argumentem zespolonym nie sposób pominąć własności argumentu liczby zespolonej. Zapytasz pewnie do czego mi się to niby przyda...? Zapewniam Cię, że się przyda i to bardzo we wszystkich zadaniach dotyczących argumentu, a szczególnie przy rozwiązywaniu równań i nierówności z argumentem zespolonym.
Dlaczego warto umieć materiał dotyczący argumentu liczby zespolonej?
Z mojego doświadczenia wynika, że od tego czy będziesz potrafił wyznaczyć argument liczby zespolonej może zależeć zdane kolokwium z zakresu liczb zespolonych. Argument liczby zespolonej występuje w zadaniach, w których pojawią się:
- równania i nierówności z liczbami zespolonymi oraz z częścią rzeczywistą i urojoną, np. "Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych spełniających..."
- postać trygonometryczna liczby zespolonej, np. "Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej..." lub "Przejdź do postaci trygonometrycznej, a następnie wykonaj dzielenie liczb zespolonych... "
- potęgowanie liczb zespolonych wykorzystując wzór de Moivre'a, np. "Wykonaj potęgowanie liczby zespolonej używając wzoru de Moivre'a..." (wzór de Moivre'a wymaga postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i tu jest potrzebna umiejętność wyznaczania argumentu)
- postać wykładnicza liczby zespolonej, np. "Zapisz liczbę zespoloną w postaci wykładniczej..."
- wzór Eulera, np. "Wykorzytując wzory Eulera znajdź argument liczby zespolonej spełniającej równanie...."
- pierwiastek zespolony i równania zespolone, np. "Rozwiąż równanie zespolone \(z^3=(1-i)^3\)" lub "Znajdź wszystkie pierwiastki 6 stopnia z liczby zespolonej z=1."
UWAGA: Z doświadczenia wiem, że (pośrednio lub bezpośrednio) argument liczby zespolonej pojawia się w około 30-70% wszystkich zadań na kolokwiach i egzaminach z algebry liniowej.
Oczywiście, wszystkie zadania z liczb zespolonych zaprezentowane powyżej są rozwiązane krok po kroku na stronie orzelzmatmy.pl. Jeśli chcesz zyskać wsparcie doktora nauk matematycznych oraz dostęp do lekcji wideo, przykładów i zadań testowych, to wystarczy się zarejestrować.
Komentarzy (0)