Pierwiastki zespolone równania kwadratowego o współczynnikach zespolonych
ROZWIĄZANIE KROK PO KROKU
\[z^2+2iz+1=0\]
Jest to równanie kwadratowe typu
\[az^2+bz+c=0\]
gdzie
\[a=1,\,\,b=2i,\,\,c=1\](zauważ, że b=2i, a nie b=2...)
Równania kwadratowe rozwiązujemy zawsze licząc najpierw "deltę"
\[\Delta=b^2-4ac\]
KROK I
Dla naszego równania (pamiętajmy, że i2=-1)
\[\Delta=(2i)^2-4=4i^2-4=-4-4=-8\]
Liczymy teraz pierwiastek z delty (pamiętajmy, że \(\sqrt{-1}=\{i,-i\}\), tzn. są 2 pierwiastki z liczby "-1")
\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{-8}=\sqrt{8}\sqrt{-1}=\{2\sqrt{2}i,-2\sqrt{2}i\}\]
KROK II
Pierwiastki równania kwadratowego dane są wzorami znanymi ze szkoły średniej
\[z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\]
\[z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
Skorzystajmy z tych wzorów wstawiając za {tex inline}\sqrt{\Delta}\] jeden z obliczonych pierwiastków, np. {tex inline}2\sqrt{2}i\] (wstawienie drugiego pierwiastka prowadzi do tego samego wyniku) oraz współczynniki a,b,c z naszego równania, wtedy
\[z_1=\frac{-2i-2\sqrt{2}i}{2},\]
\[z_2=\frac{-2i+2\sqrt{2}i}{2}\]
KROK III
Odpowiedź
Czyli ostatecznie pierwiastki naszego równania kwadratowego, to
\[{z_1=-(1+\sqrt{2})i},\]
\[{z_2=(-1+\sqrt{2})i}\]
Mam nadzieję, że rozumiesz już sposób rozwiązywania tego typu zadań? Jeśli coś jest jednak niezrozumiałe, to możesz zadać pytanie w komenarzu pod tym artykułem.
Chcesz nauczyć się liczb zespolonych z lekcji wideo, potrzebujesz wsparcia doktora nauk matematycznych? Zarejestruj się i natychmiast zyskaj dostęp do dziesiątek lekcji wideo, przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (0)