Wzory Cramera - rozwiązywanie układów równań
Wzory Cramera można zastosować do rozwiązywania układów równań liniowych, które spełniają dwa warunki:
- liczba równań = liczba niewiadomych (liczba równań jest równa liczbie niewiadomych)
- wyznacznik macierzy głównej (zaraz dowiesz się co to jest) układu jest różny od zera
Układy spełniające te dwa warunki nazywa się układami Cramera. Takie układy mają bardzo ważną własność...
Układ Cramera posiada tylko jedno rozwiązanie (jest układem oznaczonym).
Przykładem układu Cramera (jak się przekonasz czytając dalej) jest poniższy układ 3 równań z 3 niewiadomymi (x1, x2, x3):
Wzory Cramera - przepis jak stosować
Krok 1
Sprawdzamy, czy liczba równań w układzie jest równa liczbie niewiadomych. W naszym układzie: liczba równań = 3, liczba niewiadomych = 3, więc ten warunek jest spełniony.
Krok 2
Znajdujemy macierz główną układu, która zawiera współczynniki stojące przy niewiadmomych w układzie.
Warto też w tym miejscu wypisać sobie kolumnę wyrazów wolnych naszego układu równań, czyli macierz kolumnową zawierającą liczby stojące po prawej stronie równości w każdym z równań układu:
Krok 3
Obliczamy wyznacznik macierzy głównej układu:
Jak pamiętasz wyznaczniki macierzy stopnia 3 można liczyć korzystając z metody Sarrusa lub wykorzystując operacje elementarne i rozwinięcie Laplace'a. Ja wykorzystam tą drugą metodę - wykonam dwie operacje elementarne na wierszach i dzięki temu otrzymam dwa zera w 3 komumnie, potem wykonam rozwinięcie Laplace'a wzgędem tej kolumny:
Wyznacznik macierzy głównej układu jest równy 13, jest więc różny od zera, a to oznacza, że nasz układ jest układem Cramera i do jego rozwiązania można wykorzystać wzory Cramera.
Krok 4
Wzory Cramera to po prostu wzory na wszystkie niewiadome w układzie. W naszym układzie mamy 3 niewiadome x1, x2, x3, więc mamy 3 wzory:
gdzie
- detA to niezerowy wyznacznik macierzy głównej układu (już go policzyliśmy)
- detAx1, detAx2, detAx3 to wyznaczniki macierzy powstałych z macierzy A przez zastąpienie jej kolumn przez kolumnę wyrazów wolnych (brzmi skomplikowanie, ale zaraz wyjaśnię o co tu chodzi)
Krok 4a
Zapisujemy wyznaczniki macierzy Ax1, Ax2, Ax3, które tworzy się zastępując kolumny macierzy A przez kolumnę wyrazów wolnych
\(\longleftrightarrow\)
Zastępujemy 1 kolumnę macierzy A przez kolumnę wyrazów wolnych
Zasyępujemy 2 kolumnę macierzy A przez kolumnę wyrazów wolnych
Zasyępujemy 3 kolumnę macierzy A przez kolumnę wyrazów wolnych
Krok 4b
Obliczamy wyznaczniki macierzy Ax1, Ax2, Ax3. Tym razem wykorzystamy metodę Sarrusa:
Pozostałe dwa wyznaczniki też możesz policzyć przy użyciu metody Sarrusa, oto wyniki:
Krok 5
Wstawiamy otrzymane liczby do wzorów Cramera:
\[x_1=\frac{detA_{x_1}}{detA}=\frac{17}{13}\\ x_2=\frac{detA_{x_2}}{detA}=\frac{-6}{13}\\ x_3=\frac{detA_{x_3}}{detA}=\frac{3}{13}\]Ostatecznie, rozwiązaniami naszego układu równań będą:
Zapamiętaj, że wzory Cramera można stosować tylko do rozwiązywania układów Cramera, tj. układów, w których macierz główna układu jest nieosobliwa (posiada niezerowy wyznacznik).
Jeśli chcesz właściwie przygotować się do kolokwium lub egzaminu z algebry liniowej, to rozważ proszę rejestrację w serwisie orzelzmatmy.pl. Otrzymasz dostęp do kilkudziesięciu lekcji wideo, kursów z algebry, mnóstwa przykładów i zadań testowych.