Jak rozwiązać równanie kwadratowe z ujemną deltą?
Zaczniemy od rozwiązania konkretnego przykładu. Załóżmy, że chcemy rozwiązać następujące równanie kwadratowe:
\[x^2+x+1=0\]
ROZWIĄZANIE
KROK 1
Obliczamy deltę korzystając ze wzoru znanego ze szkoły średniej:
\[\Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0\]
KROK 2
Delta jest mniejsza od zera, więc nasze równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale... no właśnie, okazuje się, że takie równanie ma dwa pierwiastki zespolone.
Najpierw liczymy pierwiastek z delty. Ponieważ delta jest mniejsza od 0, więc zapisujemy pierwiastek z liczby ujemnej za pomocą jednostki urojonej (tutaj pokazuję jak to zrobić)...
\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{-3}=\sqrt{3}i\]
KROK 3
Policzyliśmy pierwiastek z delty i co dalej? Liczymy pierwiastki równania kwadratowego z takich samych wzorów jak w szkole średniej, tzn.
\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\,\,x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]
W przypadku naszego równania mamy
\[x_1=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\]
\[x_2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]Odp.: Rozwiązaniami równania kwadratowego \(x^2+x+1=0\) są liczby\[x_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\,\,x_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
Zobacz film video z rozwiązaniem równania kwadratowego z deltą mniejszą od zera
Podsumowanie - 3 proste kroki, które trzeba wykonać, żeby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego
- Oblicz deltę korzystając ze wzoru znanego ze szkoły średniej \(\bf \Delta=b^2-4ac\)
- Oblicz pierwiastek z delty. Jeśli delta jest ujemna, zapisz \(\bf \sqrt{\Delta}\) za pomocą jednostki urojonej.
- Wyznacz dwa rozwiązania równania kwadratowego x1 i x2, korzystając ze wzorów znanych ze szkoły średniej.
Mam nadzieję, że umiesz już obliczać pierwiastki zespolone dwumianu kwadratowego. Jeśli masz jakieś pytania, lub coś było niejasne, to zapraszam do zadawania pytań w komentarzach. Chcesz poznać inne metody rozwiązywania równań zespolonych? Zarejestruj się i uzyskaj dostęp do kilkudziesięciu lekcji wideo, przykładów i zadań testowych.
Komentarzy (0)