Kurs macierze i wyznaczniki
59 lekcji wideo - 6 modułów lekcyjnych
ponad 320 minut (prawie 5,5 godziny) nagrań
ponad 100 przykładów i zadań testowych
Kurs składa się 6 modułów lekcyjnych, czyli aż 59 lekcji wideo, dzięki którym poznasz, zapamiętasz i nauczysz się stosować wszystkie najważniejsze schematy z macierzy:
- Moduł 1: Wprowadzenie do macierzy - poznasz podstawowe pojęcia, np. co to jest macierz diagonalna lub jednostkowa
- Moduł 2: Działania na macierzach - opanujesz mnożenie, dodawanie i odejmowanie oraz transponowanie macierzy
- Moduł 3: Wyznacznik macierzy - poznasz różne metody liczenia wyznacznika: metodę Sarrusa, rozwinięcia Laplace'a oraz nauczysz się upraszczać obliczenia za pomocą operacji elementarnych
- Moduł 4: Macierz odwrotna i równania macierzowe - nauczysz się liczyć macierze odwrotne dwoma metodami oraz poznasz techniki rozwiązywania równań macierzowych
- Moduł 5: Rząd macierzy - poznasz dwie metody liczenia rzędu, nauczysz się rozwiązywać typowe zadania
- Moduł 6: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowej - nauczysz się rozwiązywać równanie charakterystyczne i dzięki temu wyznaczać wszystkie wartości i wektory własne
Komentarzy (8)
Nie spotkałem się nigdzie z zaznaczaniem podwójnej pętli za pomocą 4, ale logika podpowiada, że to ma sens.
1. Tworzymy macierz współczynników tego układu:\[A=\begin{bmatrix}4&3&0\\-1&1&-2\\4&5&-1\end{bmatrix}\]
2. Liczymy wyznacznik macierzy A (np. metodą Sarrusa):\[\det A=\det \begin{bmatrix}4&3&0\\-1&1&-2\\4&5&-1\end{bmatrix}=9\] (wynik można sprawdzić w kalkulatorze wolframalpha.com)
3. Widzimy, że wyznacznik jest różny od zera, więc możemy ten układ rozwiązać za pomocą wzorów Cramera lub metodą macierzową.
Bez względu na wybór metody rozwiązaniami będą liczby \(x=\frac{15}{9},\,\,y=-\frac{20}{9},\,\,z=-\frac{31}{9}\)
(napisz, czy udało Ci się dojść do takiego samego wyniku, jeśli będziesz miał problem to rozpiszę to dokładniej)
Co do macierzy incydencji, to zobacz tutaj oraz lekcję wideo o zapisywaniu grafów w postaci macierzowej w pierwszej części kursu macierzy (na samym dole w części zawierającej ciekawostki i materiały dodatkowe)
Zasada jest taka, że każdemu połączeniu między wierzchołkami w grafie skierowanym odpowiadają liczby -1, 0 lub 1 w macierzy, której wiersze odpowiadają kolejnym wierzchołkom a kolumny kolejnym krawędziom, np. jeśli jest połączenie między 1 i 2 wierzchołkiem w grafie w kierunku od 1 do 2 (tej krawędzi w macierzy odpowiada 1 kolumna), to w macierzy będziemy mieli elementy \(a_{11}=1\) (początek krawędzi) i \(a_{21}=-1\) (koniec). Mam nadzieję, że pomogłem :-)
4x+3y=0\\
-x+y-2z=3\\
4x+5y-z=-1\end{array}\right.\]Mam jeszcze problem z tworzeniem macierzy incydencji. Wiem, że są jakieś ważne zasady, ale mój problem ogólnie polega na konstrukcji samej macierzy.
Weźmy np. równanie macierzowe \((A+B)^T +X=I+C^T\), gdzie \(I\) to macierz identycznościowa (jednostkowa), A,B, C są dane, X jest szukaną macierzą. Rozwiązanie powinno wyglądać tak:
1. Wykonujemy dodawanie macierzy A+B
2. Wykonujemy transpozycję macierzy \((A+B)^T\)
3. Liczymy macierz transponowaną do C, czyli \(C^T\) i potem wykonujemy dodawanie \(I+C^T\)
4. Przenosimy wiadome (czyli \((A+B)^T\)) na prawą stronę równania i mamy:
\[X=I+C^T-(A+B)^T\]wykonujemy to odejmowanie i mamy macierz X.
Warto zapamiętać następujące reguły (są omawiane też w lekcjach):\[(A\cdot B)^T=B^T \cdot A^T\]\[(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C\]Jeśli w zadaniu pojawia się wyznacznik lub macierz odwrotna to warto pamiętać wtedy o innych własnościach, najważniejsze to:\[\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B\]\[\det\big(A^{-1}\big)=\frac{1}{\det A}\]\[\det\big(A^n\big)=(\det A)^n\]\[(AB)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\]Napisz proszę jakieś zadanie a postaram się omówić kroki jego rozwiązania.
Czy jest coś jeszcze o czym warto pamiętać? Jakaś kolejność rozwiązywania?