gototopgototop
Wyznacznik macierzy 2x2 i 3x3 - schematy i przykładyEmail

 

Wyznacznik macierzy kwadratowej to liczba rzeczywista, np. -20, 0, 1.5, 5.3 itd. Do oznaczenia wyznacznika macierzy kwadratowej A stosuje się dwa symbole:

detAlub|A|

Na przykład, zarówno zapis

wyznacznik stopnia 2

        jak i     

wyznacznik 2x2

oznaczają wyznacznik macierzy wymiaru 2x2 o elementach 2,3,1,-1.

Dlaczego koniecznie musisz nauczyć się liczyć wyznaczniki macierzy? Odpowiedź jest prosta, bo pojęcie wyznacznika pojawia się w wielu zagadnieniach na algebrze liniowej i nie tylko. Oto kilka tematów, w których wyznacznik jest niezbędny:

  • odwracanie macierzy
  • rozwiązywanie układów równań liniowych
  • sprawdzanie czy macierz jest osobliwa czy nieosobliwa
  • obliczanie pola lub objętości bryły przestrzennej
  • zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych
  • sprawdzanie czy układ rozwiązań jest fundamentalny (równania różniczkowe)

W tym artykule pokażę Ci jak szybko i sprawnie obliczać wyznaczniki macierzy stopnia 2 oraz 3.

Wyznacznik macierzy 2x2

Wyznacznik macierzy stopnia 2 liczy się bardzo łatwo, wystarczy wymnożyć elementy macierzy stojące na przekątnych, a potem odjąć od siebie tak otrzymane iloczyny.

Oto schemat obliczania wyznacznika 2x2:

{\bold{\det}\left[\begin{array}{cc}\bold a & \bold b\\\bold c & \bold d\end{array}\right]=\huge{\bold{ad - bc}}}

I konkretny przykład:

wyznacznik macierzy 2x2

  • mnożymy elementy stojące na głównej przekątnej macierzy 2x2, tj. na pozycjach 11 oraz 22, czyli elementy a11 i a22(w przykładzie będą to liczby 2 oraz -1)
  • mnożymy przez siebie elementy macierzy stojące na drugiej przekątnej, tj. stojące na pozycjach 12 i 21, czyli elementy a12 i a21 (w naszym przykładzie będą to liczby 3 oraz 1)
  • odejmujemy od siebie tak otrzymane iloczyny i w ten sposób otrzymujemy wartość wyznacznika macierzy 2x2 (w przykładzie mamy detA = a11* a22 - a12 * a22 = 2*(-1) - 3*1 = - 2 - 3 = - 5)

Wyznacznik macierzy 3x3 - metoda Sarrusa

Umiesz już liczyć wyznacznik macierzy 2x2, teraz czas na wyznacznik macierzy 3x3... Na początek pokażę Ci jak liczyć takie wyznaczniki korzystając z metody Sarrusa. Obejrzyj lekcję video z rozwiązaniem konkretnego przykładu przy użyciu metody Sarrusa:

Rozwiązanie tekstowe przykładu z lekcji video:

metoda Sarrusa - wyznacznik 3x3

Schemat metody Sarrusa wygląda następująco:

metoda Sarrusa - schemat

metoda Sarrusa - schemat 2

Chcemy obliczyć wyznacznik macierzy 3x3

wyznacznik macierzy 3x3

  1. Dopisujemy po prawej stronie wyznacznika macierzy dwie pierwsze kolumny macierzy

    metoda Sarrusa 0

  2. Obliczamy iloczyny elementów stojących na kolejnych przekątnych wcześniej utworzonej macierzy rozszerzonej 

metoda Sarrusa 1

0* (-1)* 1 = 0

metoda Sarrusa 2

3* 2* 2 = 12

metoda Sarrusa 3

1* 1* 4 = 4

Sumujemy wyżej otrzymane liczby:

0 + 12 + 4 = 16

Obliczamy iloczyny elementów na przekątnych poprzecznych:

metoda Sarrusa 4

2* (-1)* 1 = -2

metoda Sarrusa 5

4* 2* 0 = 0

metoda Sarrusa 6

1* 1* 3 = 3

Sumujemy wyżej otrzymane liczby:

-2 + 0 + 3 = 1

      3. Ostatecznie wyznacznik naszej macierzy 3x3 będzie równy

16 - 1 = 15

Poniżej możesz zobaczyć całe rozwiązanie tego przykładu

metoda Sarrusa - przykład

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania

Teraz, spróbuj samodzielnie obliczyć poniższe wyznaczniki macierzy stopnia 2 i 3.

Oblicz wyznacznik macierzy 2x2

\bf det\left[\begin{array}{cc}
1&0\\
-3&0
\end{array}\right]=?

\bf det\left[\begin{array}{cc}
1&0\\
-3&0
\end{array}\right]=1*0-(-3)*0=0-0=0

Oblicz wyznacznik macierzy 3x3

\bf detA=\left|\begin{array}{ccc}
1&3&$-1$\\
{2}&$-1$&1\\
{3}&1&$-2$
\end{array}\right|=?

\bf detA=\left|\begin{array}{ccc}
1&3&$-1$\\
{2}&$-1$&1\\
{3}&1&$-2$
\end{array}\right|\begin{array}{ccc}
1&3\\
2&$-1$\\
3&1\\
\end{array}=(2+9-2)-(3+1-12)=17

Chcesz poznać inne metody liczenia wyznacznika macierzy (rozwinięcia Laplacea i upraszczanie obliczeń przez operacje elementarne)? Zajrzyj do kursu video poświęconego wyznacznikowi macierzy.

 

Komentarze  

 
+1#4Sebastian Orzeł2013-11-08 10:28
Cytuję Jan:
Może się mylę ale wyznacznik z macierzy C=ABT-I jest w tym przypadku równy 0 a to oznacza, że macierz odwrotna nie istnieje

Sprawdziłem raz jeszcze wszystkie obliczenia i wygląda na to, że jest dobrze. Wyznacznik macierzy C=AB^T-I wynosi 138 a nie 0. Kalkulator wolframa daje taki sam wynik:
www.wolframalpha.com/input/?i=InverseMatrix[{{-1%2C0}%2C{1%2C1}%2C{2%2C2}}*MatrixTranspose[{{2%2C1}%2C{1%2C-1}%2C{0%2C1}}]-{{1%2C0%2C0}%2C{0%2C1%2C0}%2C{0%2C0%2C1}}]
Cytuj
 
 
0#3Jan2013-10-22 14:56
Może się mylę ale wyznacznik z macierzy C=ABT-I jest w tym przypadku równy 0 a to oznacza, że macierz odwrotna nie istnieje
Cytuj
 
 
+3#2Sebastian Orzeł2013-02-12 12:36
Cytuję Krystian295:
jak moge obliczyc zatanie tego typu. Zmaleść macierz odwrotna do macierz C=ABT-I (przy B transponowanie)

-1 0
A= 1 1
2 2

2 1
B= 1 -1
0 1

prosze o pomoc

Witaj, takie zadanko rozwiązuje się obliczając wszystko po kolei, tzn. najpierw liczymy macierz transponowaną B^T:

Teraz liczymy iloczyn AB^T:

Otrzymaliśmy macierz stopnia 3, więc macierz jednostkowa też musi być stopnia 3:

Stąd różnica macierzy AB^T-I będzie równa:

Ostatecznie mamy do policzenia macierz odwrotną do macierzy wymiaru 3x3. Macierz odwrotną można obliczyć ze wzoru albo przy użyciu metody dołączonej macierzy jednostkowej (zobacz przykłady tutaj http://orzelzmatmy.pl/macierze/119-jak-obliczyc-macierz-odwrotna):

Pozdrawiam serdecznie
Cytuj
 
 
+1#1Krystian2952013-02-12 08:55
jak moge obliczyc zatanie tego typu. Zmaleść macierz odwrotna do macierz C=ABT-I (przy B transponowanie)

-1 0
A= 1 1
2 2

2 1
B= 1 -1
0 1

prosze o pomoc
Cytuj
 

Skomentuj, zapytaj, napisz co myślisz

Kod antyspamowy
Odśwież

 REGULAMIN | POLITYKA PRYWATNOŚCI | KONTAKT | MAPA STRONY
OrzelzMatmy.pl 2011-2014. Wszystkie prawa zastrzeżone.