gototopgototop
Jak obliczyć macierz odwrotną? [2 metody z przykładami]Email

 

Z tej lekcji dowiesz się co to jest macierz odwrotna oraz kiedy można odwracać macierze. Poznaj 2 metody obliczania macierzy odwrotnej, zobacz rozwiązanie krok po kroku przykładu z metodą bezwyznacznikową oraz film video z rozwiązaniem konkretnego zadania z kolokwium.

Macierz odwrotna - co to jest i kiedy istnieje?

Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A (ozn. A-1) to taka macierz, że

A*A-1=A-1*A=I

gdzie I to macierz jednostkowa takiego samego stopnia jak macierz A.

Innymi słowy, gdy pomnożymy macierz A przez macierz do niej odwrotną (lub wykonamy to mnożenie w odwrotnej kolejności, tzn. pomnożymy macierz odwrotną przez macierz A), to zawsze w wyniku otrzymamy macierz jednostkową.

Macierz odwrotna istnieje tylko dla tzw. macierzy nieosobliwych (czyli takich, których wyznacznik jest różny od zera)

macierz odwrotna - definicja

Gdy detA=0 to macierz odwrotna A-1 nie istnieje!

Metody wyznaczania macierzy odwrotnej

1. Standardowa metoda bazująca na obliczeniu wyznacznika macierzy i dopełnień algebraicznych + transponowanie macierzy.

Metoda składa się z 3 prostych kroków:

  • oblicz wyznacznik macierzy

  • oblicz dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy
  • przetransponuj macierz zawierającą dopełnienia algebraiczne

W formie wzoru powyższy schemat obliczania macierzy odwrotnej będzie wyglądał następująco:

macierz odwrotna - wzór

gdzie

  • detA - oznacza wyznacznik macierzy A
  • D11, D12,...,Dnn - dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów macierzy A
  • symbol "T" - ozacza transponowanie macierzy

Warto zapamiętać (uproszczony) wzór na macierz odwrotną stopnia 2:

macierz odwrotna 2x2 - wzor

Literki a, b, c, d oznaczają oczywiście dowolne elementy macierzy.

Przykład liczenia macierzy odwrotnej do macierzy 2x2:

macierz odwrotna stopnia 2 - przykład

Konkretny przykład (video) - jak obliczyć macierz odwrotną do iloczynu macierzy wymiaru 2x2?

Zobacz jak wykorzystać schemat obliczania macierzy odwrotnej stopnia 2:

 

2. Metoda bezwyznacznikowa (metoda Gaussa, zwana też metodą dołączonej macierzy jednostkowej)

  • obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową,
  • następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach(!) macierzy wyjściowej (UWAGA: W tej metodzie nie wolno wykonywać operacji elementarnych na kolumnach!), tak aby przekształcić ją do macierzy jednostkowej.
  • na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.

W skrócie ten schemat można zapisać tak:

macierz odwrotna - metoda bezwyznacznikowa

Konkretny przykład - jak obliczyć macierz odwrotną metodą bezwyznacznikową?

Szukamy macierzy odwrotnej dla macierzy A postaci

macierz odwrotna 3x3

Skorzystamy ze schematu:

schemat metody bezwyznacznikowej dla macierzy odwrotnej

Krok 1

Dopisujemy macierz jednostkową obok naszej macierzy:

macierz blokowa - dolaczona macierz jednostkowa

Krok 2

Wykonujemy operacje elementarne na wierszach (Pamiętaj, że nie wolno wykonywać operacji na kolumnach!) naszej macierzy rozszerzonej w celu uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie (w miejscu macierzy A). Naszym celem jest uzyskanie jedynek na przekątnej i zer poza przekątną, więc wykonujemy tylko takie operacje elementarne, które nam w tym pomogą:

macierz odwrotna - metoda bezwyznacznikowa 3

macierz odwrotna -metoda bezwyznacznikowa 1

Jak widzisz poprzez operacje elementarne na wierszach uzyskaliśmy macierz jednostkową po lewej stronie w naszej macierzy blokowej (lewy blok)...

Krok 3

Odczytujemy macierz odwrotną, która znajduje się po prawej stronie macierzy jednostkowej (prawy blok), tak jak to widać w schemacie:

schemat metody bezwyznacznikowej dla macierzy odwrotnej

czyli

macierz odwrotna

Warto zapamiętać kilka własności, które przydają się w zadaniach

  • macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest równa iloczynowi (w odwrotnej kolejności) macierzy odwrotnych

    macierz odwrotna z iloczynu macierzy

  •  macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest równa transponowanej macierzy odwrotnej (nie ważna jest kolejność, tzn. możemy najpierw obliczyć macierz odwrotną a później ją przetransponować lub równoważnie możemy najpierw wykonać transpozycję a potem wyznaczyć macierz odwrotną)

    macierz odwrotna z macierzy transponowanej

  • macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest równa macierzy wyjściowej (podwójne odwrócenie macierzy nic nie zmienia)   macierz odwrotna z macierzy odwrotnej
  • odwracanie macierzy wymiaru 2x2 można wykonać bez znajomości wzorów, wystarczy skorzystać z bardzo prostego schematu (o którym pisałem powyżej)

Oto wszystkie najbardziej użyteczne własności macierzy odwrotnej (naprawdę przydają się w zadaniach):

macierz odwrotna -wlasnosci

Zwróć uwagę szczególnie na pierwszą własność, która pozwala znacznie uprościć obliczenia, przez co oszczędzisz sporo czasu na kolokwium.

Dlaczego? To proste, dajmy na to że w zadaniu każą Ci obliczyć wyznacznik z macierzy odwrotnej do macierzy wymiaru 4x4...  Wzorem zapiszemy to tak: det(A-1). Żeby to obliczyć, musielibyśmy najpierw odwrócić macierz A i dopiero potem obliczyć wyznacznik macierzy A-1. Uwierz mi, że odwracanie macierzy stopnia 4 nie należy do najprzyjemniejszych, bo zwykle wymaga to wielu obliczeń i zabiera dużo czasu... W tym mijscu z pomocą przychodzi nasza własność

det(A-1)=(detA)-1

która mówi, że zamiast męczyć się z odwracaniem samej macierzy, możemy najpierw obliczyć wyznacznik... niby mała zmiana ale upraszcza to sytuację bardzo mocno! Wystarczy przypomnieć sobie, że wyznacznik macierzy to nic innego jak zwykła liczba rzeczywista, więc (detA)-1 to po prostu jakaś liczba podniesiona do potęgi "-1" (odwrotność, tzn. (detA)-1=1/detA).

Podsumowując, zamiast męczyć się z odwracaniem macierzy i liczeniem wyznacznika, wystarczy, że obliczymy tylko wyznacznik i obliczymy odwrotność liczby rzeczywistej (a nie macierzy)!

Konkretny przykład (video) - jak obliczyć macierz odwrotną do iloczynu macierzy wymiaru 2x2?

Zobacz jak wykorzystać schemat obliczania macierzy odwrotnej stopnia 2 oraz własności macierzy odwrotnej o których była mowa wyżej:

Konkretny przykład - jak obliczyć macierz odwrotną metodą bezwyznacznikową?

Szukamy macierzy odwrotnej dla macierzy A postaci

macierz odwrotna 3x3

Skorzystamy ze schematu:

schemat metody bezwyznacznikowej dla macierzy odwrotnej

Krok 1

Dopisujemy macierz jednostkową obok naszej macierzy:

macierz blokowa - dolaczona macierz jednostkowa

Krok 2

Wykonujemy operacje elementarne na wierszach (Pamiętaj, że nie wolno wykonywać operacji na kolumnach!) naszej macierzy rozszerzonej w celu uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie (w miejscu macierzy A). Naszym celem jest uzyskanie jedynek na przekątnej i zer poza przekątną, więc wykonujemy tylko takie operacje elementarne, które nam w tym pomogą:

macierz odwrotna - metoda bezwyznacznikowa 3

macierz odwrotna -metoda bezwyznacznikowa 1

Jak widzisz poprzez operacje elementarne na wierszach uzyskaliśmy macierz jednostkową po lewej stronie w naszej macierzy blokowej (lewy blok)...

Krok 3

Odczytujemy macierz odwrotną, która znajduje się po prawej stronie macierzy jednostkowej (prawy blok), tak jak to widać w schemacie:

schemat metody bezwyznacznikowej dla macierzy odwrotnej

czyli

Jeśli interesują Cię konkretne zadania z rozwiązaniami lub chcesz uczyć się z lekcji video, to zapraszam do pełnego kursu macierzy lub do lekcji poświęconej macierzy odwrotnej.

 

Komentarze  

 
0#2Sebastian2014-11-25 21:43
Cytuję Mietek Brdyś:
Ch... troche masz tam ale dobra.

Ale co dokładnie masz na myśli?
Cytuj
 
 
0#1Mietek Brdyś2014-11-24 22:44
Ch... troche masz tam ale dobra.
Cytuj
 

Skomentuj, zapytaj, napisz co myślisz

Kod antyspamowy
Odśwież

 REGULAMIN | POLITYKA PRYWATNOŚCI | KONTAKT | MAPA STRONY
OrzelzMatmy.pl 2011-2014. Wszystkie prawa zastrzeżone.