gototopgototop
Jak rozwiązywać nierówności z modułem liczby zespolonej?Email

Ostatnio jeden z czytelników zapytał mnie:

"Jak rozwiązać nierówność z modułem liczby zespolonej |iz + 1 - 2i| < 3? Gdyby nie było tam iz to wiem, że rozwiązaniem będzie wnętrze koła (bez brzegu), ale co zrobić gdy będzie iz?"

Zacznijmy od początku...

czyli od nierówności typu

|z-z_0|<r


gdzie

  • z - to szukane liczby zespolone, spełniające powyższą nierówność
  • z0 - to podana liczba zespolona (np. z0=1-2i lub z0=i itp.)
  • r - to podana liczba rzeczywista dodatnia (np. r=0.8 lub r=2 itp.)

Przykład:

|z+1-2i|<3

 

Zbiór rozwiązań takiej nierówności to wnętrzekoła o środku w punkcie z0 oraz promieniu r. W naszym przykładzie mamy:

z_0=-1+2i,\,\,r=3

Zastanawiasz się pewnie skąd się wzięło z0=-1+2i? Zauważ, że w schemacie mamy minus przed z0 (|z - z0|<r), więc musimy ten minus uwzględnić przy wyznaczaniu z0. Należy więc najpierw przekształcić naszą nierówność zespoloną do postaci:

|z-(-1+2i)|<3
czyli dokładnie tak jak w schemacie
|z-z_0|<r

teraz mamy z0 widoczne jak na dłoni:-)

Oto lekcja video, która pomoże Ci zrozumieć dokładnie o co chodzi w schemacie rozwiązywania nierówności z modułem liczby zespolonej:

Sedno sprawy, czyli pomysł na rozwiązanie nierówności z modułem zespolonym oraz "iz"

Potrafisz już rozwiązać nierówność z modułem typu

|z-z_0|<r

Pytanie jak poradzić sobie z nierównością w której pojawia się to nieszczęsne "iz", czyli np.

|iz+1-2i|<3

Pomysł jest prostszy niż Ci się wydaje...:-) Wystarczy doprowadzić powyższą nierówność do tej znanej ze schematu - czyli tak, żeby nie było "iz" tylko samo "z". Można to zrobić na dwa różne sposoby:

SPOSÓB 1

1. Zauważmy, że  |i| = |-i| = 1 (moduł jednostki urojonej wynosi 1). Wykorzystajmy to i pomnóżmy obie strony naszej nierówności właśnie przez  |-i| (za chwilę zobaczysz dlaczego mnożymy przez |-i| a nie przez |i|...), czyli

|-i||iz+1-2i|<|-i|3

2. Po lewej stronie nierówności korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli

|z_1| |z_2| = |z_1 z_2|


u nas z1 = -i,  z2 = iz + 1-2i więc

|-i| |iz + 1 - 2i| = |(-i) (iz + 1 - 2i ) | = |z + (-i)(1 - 2i)| = |z  - i - 2|

Stąd ostatecznie otrzymujemy nierówność: 

 |z - (2 + i)| < 3

 

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.

SPOSÓB 2

1.  Wyciągamy i przed nawias:

\left|i \left(z + \frac{1 - 2i}{i}\right)\right| < 3


2. Korzystamy z własności modułu zespolonego, czyli

|z_1 z_2|=|z_1| |z_2|


u nas                                         
z_1 = i,\,\,  z_2 = z + \frac{1-2i}{i} 
stąd

\left|i \left(z + \frac{1 - 2i}{i}\right) \right|=|i| \left|z + \frac{1 - 2i}{i}\right|

Ponieważ  |i|=1, więc otrzymujemy nierówność

\left|z + \frac{1 - 2i}{i}\right| < 3

3. Jak widzisz jesteśmy już blisko znanego schematu. Teraz trzeba jeszcze tylko wykonać dzielenie liczb zespolonych 

\frac{1 - 2i}{i}  = \frac{1}{i} - \frac{2i}{i} = -i-2


stąd ostatecznie dochodzimy do łatwej nierówności 

 |z - (2 + i)| < 3

do rozwiązania której wystarczy zastosować omówiony wcześniej schemat |z - z0| < r.
Zauważ, że nierówności otrzymane 2 sposobami są dokładnie takie same. Sam(-a) wybierz metodę, która Ci bardziej pasuje:-) Jeśli chcesz poznać metody rozwiązywania innych nierówności zespolonych to zapraszam do pełnej wersji kursu liczb zespolonych lub lekcji poświęconej nierównościom zespolonym.

 
 

Skomentuj, zapytaj, napisz co myślisz

Kod antyspamowy
Odśwież

 REGULAMIN | POLITYKA PRYWATNOŚCI | KONTAKT | MAPA STRONY
OrzelzMatmy.pl 2011-2014. Wszystkie prawa zastrzeżone.